回归数学本真富含数学韵味

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1、回归数学本真富含数学韵味——2013年南通市中考数学第28题赏析2013年南通市中考数学压轴题——第28题，是一道回归数学本真，富含数学韵味的好题。原题如下：（第28题）OCBDAyxy=kx+b如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS＋32=0．（1）求b的值；（2）求证点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证．笔者细品此题，认为有以下四个亮点。一、表述简洁图形优美笔者随机抽取了二十份2013年其他地区的中考数学试卷，统

2、计了这些试卷最后一题的字数（不包含图形），平均字数为232，二十份试卷中，只有一份试卷的字数在200以内，是193字，其余的试卷都超过200字，最多的达到326个字。而南通这道压轴题总共才105个字，表述简洁明了，减少了无关信息对学生解题的干扰。这充分体现了南通试题减少过度包装，回归数学本真的特点。再有，该题的图形非常简洁：就是一条抛物线、一条直线和两条线段，没有太多复杂的线条和图形，大方得体，令人赏心悦目。而有些试题，图形则非常复杂，令人望而生畏，人为增加了学生的恐惧感。二、注重思维，减少运算本题的第三小问，可以用多种方法来求解，下面介绍三种

3、常见的。方法一：根据A，B两点坐标可得OA=，OB=。∵，∴+=+。x1x2=-64，y1y2=64，∴+=0。方法二：分别过点A和点B作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，则，，，．EFOCBDAyxy=kx+8∵OA2=，OB2=，AB2====，∴OA2+OB2=AB2。∴∠AOB=90°。∴∠AOE+∠BOF=90°，∵在Rt△BOF中，∠OBF+∠BOF=90°，∴∠AOE=∠OBF，又∵∠AEO=∠BFO=90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即．∴，即．方法三：分别过点A和点B作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，则，，，

4、．由（2），得，即．又∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即．∴，即．比较三种方法，可以发现，方法一的思路简单，但计算量和计算难度较大。方法二是将转化为线段成比例，再构造相似三角形来证明，和方法一相比，思维要求提高，但计算量和计算难度要明显减少。方法三和方法二思路相同，但方法二是用“两角对应相等推出三角形相似，再推出线段成比例”这种常规思路来证明，方法三采用的是“两边对应成比例且夹角相等推出三角形相似，再推出对应线段成比例”这种非常规思路来解决的，思维要求更高，而计算量和计算难度却大大降低。经过比较可以看出，三种解题方法的思维

5、要求逐步提高，而计算量和计算难度逐步降低。因此在解决这个问题的时候，考生思维的深刻程度决定了其解题方法是否更合理、更优化．这充分体现了南通试题以能力立意，注重考查学生思维能力，不考繁杂计算的原则。三、凸出思想引领方向数学思想是数学的精髓。帮助学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本思想是新课标最新提出的要求。南通中考试题一直注重考查学生数学基本思想，引领南通地区初中数学抓实数学思想教学。这一题，更是凸出考查了学生运用“数形结合”的数学思想在新的情境中解决问题的能力。著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好

6、，隔离分家万事休”．本题对数形结合思想的考查相当到位：要破解题中“△OCD的面积为S，且kS＋32=0”这个条件，学生就必须将数与形结合；要解决“点（y1，y2）在反比例函数的图象上”这个“形”的问题，需要将其转化为y1y2=64这个“数”的问题来解决；而证明“”这个结论，从上面的解法中，我们可以发现：利用图形（构造相似三角形）更为简捷方便。四、有效区分彰显价值作为整份试卷的压轴题，这道题目有着良好的区分度，起到较好的选拔功能。和以往的压轴题不同，本题的入口较窄，第一问不再送分，有效的拦住了一批基础知识、基本技能和思维水平偏低的学生。第二问、第

7、三问难度逐步加大，大部分学生因为知识、技能、思想方法、能力等方面的原因，没能到达解题终点。本题总分13分，全大市均分仅有2.97分。而正优秀的学生则能顺着题目的设问拾级而上，成功登顶，有不少考生得满分。从阅卷反馈的信息看，本题可将真正优秀的学生选拔出来，充分体现了压轴题的选拔功能。