2016-2017年人教a版选修2-12.3.1 双曲线及其标准方程学案

《2016-2017年人教a版选修2-12.3.1 双曲线及其标准方程学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2．3双曲线2.3.1　双曲线及其标准方程双曲线的定义我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1600m的“千岛湖”舰，3s后也监听到了该马达声(声速为340m/s)．问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示：340×3＝1020(米)．问题2：若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？提示：

2、MB

3、－

4、MA

5、＝1020.双曲线的定义把

6、平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

7、F1F2

8、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题1：若动点M满足

9、

10、MA

11、－

12、MB

13、

14、＝4，则M的轨迹方程是什么？提示：－＝1.问题2：若动点M满足

15、

16、MC

17、－

18、MD

19、

20、＝4，则点M的轨迹方程呢？提示：－＝1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b

21、>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线定义的理解(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略．若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若

22、PF1

23、－

24、PF2

25、＝2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F2的一支．②若

26、PF1

27、－

28、PF2

29、＝－2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F1的一支．(2)若

30、F1F2

31、＝2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线．(3)若

32、F1F2

33、<2a，动点的轨迹不存在．2．通过双曲

34、线方程－＝1(焦点在x轴上)和－＝1(焦点在y轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，但是无论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足c2＝a2＋b2.求双曲线的标准方程[例1]　已知双曲线过P1(－2，)和P2(，4)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]　解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组，求得a，b，c，从而得双曲线标准方程；也可以设成mx2＋ny2＝1(mn

35、<0)的形式，可避免讨论并简化运算．[精解详析]　法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．∵P1，P2在双曲线上，∴解得(不合题意，舍去)当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．∵P1，P2在双曲线上，∴解得即a2＝9，b2＝16.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵P1，P2在双曲线上，所以解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.[一点通]　求双曲线标准方程的步骤：1．已

36、知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－y2＝1　　　　　　B.－x2＝1C.－y2＝1D.－＝1解析：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：A2．求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．解：法一：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.法二：设双曲线方

37、程为－＝1(－4

38、PF1

39、，

40、PF2

41、的方程，求得

42、PF1

43、，

44、PF2

45、或

46、PF1

47、·

48、PF2

49、即可．[精解详析]　由－＝1，得a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线定义及勾股定理得

50、PF1

51、－

52、PF2

53、＝±6，

54、PF1

55、2＋

56、PF2

57、2＝

58、F1F2

59、2＝1

60、02，∴(

61、PF1

62、－

63、PF2

64、)2＋2

65、PF1

66、·

67、PF2

68、＝100.∴

69、PF1

70、·

71、PF2

72、＝＝32.∴S△F1PF2＝

73、PF1

74、·

75、PF2

76、＝16.[一点通]　利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

77、

78、PF1

79、－

80、PF2

81、

82、＝2a的变形的使用，特别是与

83、PF1

84、2＋

85、PF2

86、2，

87、PF1

88、·

89、PF2

90、间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用．3．若点