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《王玉文版《常微分方程简明教程》课后习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4习题答案1.(1)12150,(2)2.52.2(1),(2),(3).3.(1),(2),(3).4.解:因为当时,将保持不变;当时,将增加;当时,将减少.由知,(1)当,即时,将保持不变.(2)当,即或时,将增加.(3)当,即或时,将减少.5.7071.6.解:(1)设为在时刻的放射性同位素质量.则模型为,为比例系数,方程的解为,由时,,得,于是,又因为时,,得,,因此.(2)当时,(3)质量减半时,得,.7.(1),(2),(3)一样.8.(1)1065,(2)17669,(3)32600,(4)1689.解:(1).(2).(3),其中是捕获量与总量平方根的比例系数.1
2、0.(1)趋向于2000,(2)鱼的数量递减趋于0.11..12..13.(1)为任意常数.(2)为任意常数.(3)为任意常数.(4)为任意常数.(5)为任意常数,此外也是解.(6)为任意常数.(7)为任意常数,此外也是解.(8)为任意常数.(9)为任意常数,此外也是解.(10)为任意常数.14.(1).(2).(3).(4).15.解:设,则可导且,这样有,得,又,得.从而,进而.16.解:首先令,由已知可得,化简有,知.由函数的导数定义变形为,积分得,由,知,所以满足条件的函数为17..18.(1)为任意常数.(2)为任意常数.(3)为任意常数.(4).(5).(6).(7).1
3、9.(1)为任意常数.(2)为任意常数.(3)为任意常数.(4)为任意常数.20.直接代入方程验证即可.21..22.(1)为任意常数.(2)为任意常数.(3)为任意常数.(4)为任意常数.23.(1)为任意常数.(2)为任意常数.(3)为任意常数.(4)为任意常数.(5)为任意常数,此外也是解.(6)为任意常数.注:上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在附近的所有解是递减的,对的解,当不可能趋于.25.(1)取,如图1-22:(2)取,如图1-23.图1-22图1-2327.,在的直线上,斜率场的斜率标记为水平的;我们并不能得到关于初始条件的特解的有用信息.28.(1)设t
4、时刻湖中盐酸含量为千克,则可释得.(2)213139.(3)最终趋向于240000千克.29.(1)可解得.(2)218010.30.设C处电压为,则有,因此.31.(1).(2),.(3).(4),32.(1),(2),(3),(4).33.解:由方程的右端项为仅为的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理,给定初始条件的解是存在并且是唯一的.首先由知方程有三个平衡解.(1)初始条件为,初值位于的上方,由唯一性,满足这个初始条件的解一定大于,且,知这个解递增,并且随着的递增,也递增并且越来越大,知在增加时,在有限时间内爆破,趋向于.当减少时,递减,并且随着的递减趋于,也递减趋向
5、于0,递减越来越来越缓慢,知,.(2)初始条件为,而平衡解满足这一初始条件,由唯一性,满足这个初始条件的解就是平衡解.(3)初始条件为,初值位于这两个平衡解的中间,由唯一性,满足这个初始条件的解一定满足,且由,知这个解递增,并且随着的递增,也递增但随着趋向于,趋向于0,增长越来越缓慢,知,.同样,,.(4)初始条件为,初值位于的下方,由唯一性,满足这个初始条件的解一定小于,且,与前面类似讨论知,在增加时,在有限时间内爆破,趋向于.当时,.34.证明:由于连续可微,知方程满足存在唯一性定理的条件.因为是方程的一个解,必可微,又因为在处取得极值,则由极值的必要条件知,从而,知是方程的一个
6、平衡解,并且这个解满足初始条件,而这个解满足同样的初始条件,由解的唯一性,知.35.,其中为任意常数,这些解的定义区间为.36解:由,知它在全平面内连续,又由于,在除去的区域内连续,从而在除去的有界闭区域内有界,进而满足利普希茨条件,知方程满足初始条件的解在充分小的邻域内存在并且唯一.当时,函数是方程过(0,0)的解.当时,方程可变形为,积分得,为任意常数.当时,得特解是过(0,0)的另一个解,其实,除零解外,过(0,0)的所有解可以表示为,,,其中是满足,的任意常数,这些解的定义区间为,但本质上在充分小的邻域内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即函数,及.37.解:(1)由得平
7、衡点为和.因为,所以是汇;而,所以是源.(2)由得平衡点为和.当时,,知为汇;而,知为源.相反,当时,,知为源;而,知为汇.同样和都为汇.(3)总是大于0,知方程无平衡点.(4)由得平衡点,且当时,,知,都为结点.38.(1)图1-24,(2)图1-25,(3)图1-26,(4)图1-27.图1-24图1-25图1-26图1-2739.(1)减少时,在有限时间内趋于.(2).(3)同(1).(4)增加时,在有限时间内趋于.40.图1-11解:(a)对应于(
