2016-2017年人教a版选修2-12.1.2 求曲线的方程学案

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1、_2.1曲线与方程曲线与方程在平面直角坐标系中：问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对．问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x＝－5上．问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x＝±5.曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.求曲线的方程在平面直角坐标系中，已知A

2、(2,0)，B(－2,0)．问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？提示：

3、PA

4、＝.问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？提示：＝.问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线．1．求曲线的方程的步骤2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点

5、都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．曲线与方程的概念[例1]　分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程

6、x

7、＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平

8、分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[思路点拨]　按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程

9、x

10、＝2的解；但以方程

11、x

12、＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，

13、x

14、＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的

15、解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.[一点通]　(1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　　)A．方程f(x，y

16、)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．答案：B2.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是(　　)A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0解析：方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.∴表示两条直线2x－y＝0或2

17、x＋y＋3＝0.答案：C曲线与方程关系的应用[例2]　已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．[思路点拨]　对于(1)，只需判断点P，Q的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M的坐标代入方程，从而得到关于m的方程，进而求出m的值．[精解详析]　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠