义务教育2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析5.2数列综合应用

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1、亲爱的同学:经过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧!那今天就来小试牛刀吧!注意哦:在答卷的过程中一要认真仔细哦!不交头接耳,不东张西望!不紧张!养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键!祝取得好成绩!一次比一次有进步!2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:5.2数列综合应用一、数列求和(一)分组转化求和※相关链接※1、数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之;2、常见类型及方法(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;(2)an=a·qn-1,利用等比数列前n项

2、和公式直接求解;(3)an=bn±cn或数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,采用分组求和法求{an}的前n项和.注:应用等比数列前n项和公式时,要注意公比q的取值。※例题解析※※【例】(1)已知数列:则其前n项和Sn=__________(2)已知①求数列{an}的前10项和S10;②求数列{an}的前2k项和S2k.【方法诠释】(1)先求数列的通项公式,再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.解析:(1)∵答案:(2)①S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)②由题意知,数列{an}的前2k项中,k个奇数项组

3、成首项为6,公差为10的等差数列,k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.∴S2k=[6+16+…+(10k-4)]+(2+22+…+2k)(二)错位相减法求和※相关链接※1、一般地,如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前n项和时,可采用错位相减法;2、用错位相减法求和时,应注意(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的-的表达式。3、利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和,若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别

4、求和。※例题解析※〖例〗已知数列满足是首项为1,公比为a的等比数列。(1)求;(2)如果a=2,,求数列的前n项和。思路解析:(1)根据题意得到表达式,再用累加法求通项;(2)利用错位相减法求和。解答:(1)由,当n≥2时,,∴①当a=1时,;②当a≠1时,,∴(2)……………………………………………………………①则…………………………………………②①-②,得(三)裂项相消求和※相关链接※[1、利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数

5、之积与原通项公式相等;2、一般情况如下,若是等差数列,则,,此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和3、常见的拆项公式有:(1)(2)(3)(4)(5)※例题解析※【例】(2012·大连模拟)已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2,(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.【方法诠释】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系.(2)先用裂项法求Tn,再根据数列{Tn}的单调性求最小值.解析:(1)因为(an+1)2=4Sn,所以所以即∴2(an+1+an)=(an+

6、1+an)·(an+1-an).因为an+1+an≠0,所以an+1-an=2,即{an}为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1,解得a1=1,所以an=2n-1.(2)由(1)知∴Tn=b1+b2+…+bn∴Tn+1>Tn,∴数列{Tn}为递增数列,∴Tn的最小值为(四)数列求和的综合应用〖例〗设数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)设,,,求数列的前n项和;(3)若思路解析:(1)通过已知条件递推变形,构造等比数列或用迭代法求解;(2)利用错位相减法求;(3)利用反证法证明。解答:(1)方法一:由题意,,∴当a≠1时,∴当a=1时,仍满足上式。∴数

7、列的通项公式为。方法二:(2)(3)由(1)知。若,则。∵,∴。由对任意成立,知c>0.下证c≤1.用反证法。方法一:假设c>1.由函数f(x)=的函数图象知,当n趋于无穷大时,趋于无穷大。∴不能对恒成立,导致矛盾。∴c≤1,∴o

8、比数列相结

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