与中点有关的辅助线作法

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1、与中点有关的辅助线作法李述文中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题得到迅速解决。一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜边上的中线例1.已知：如图1，△ABC中，BD和CE是高，M为BC的中点，P为DE的中点。求证：PM⊥DE。证明：联结EM、DM，则故EM＝DM又P为DE的中点，所以PM⊥DE。二、已知三角形一边的中点，构造中位线例2.已知：如图2，△ABC中，AD是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。求证：AD＝BE4证明：取CD的中点F，联结EF，则又AD⊥BC，故△

2、BEF为直角三角形又∠EBC＝30°，所以故AD＝BE三、已知中线，常倍长中线例3.如图3，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，BE的延长线交AC于F，且AF＝EF。求证：BE＝AC证明：延长中线AD至A’，使A’D＝AD联结A’B，易证△A’BD≌△ACD，故∠A’＝∠CAD，A’B＝AC又因为AF＝EF，所以∠AEF＝∠CAD4又∠AEF＝∠A’EB，所以∠A’＝∠A’EB，A’B＝BE故有BE＝AC四、已知中点且结论为比例式时，常过中点作平行线例4.过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E。求证：AE：ED＝2

3、AF：FB证明：如图4，过点D作DM∥AB交CE于M，则AE：ED＝AF：DM∵BD＝CD，DM∥AB∴MF＝CM，DM是△BCF的中位线即AE：ED＝2AF：FB五、已知梯形一腰的中点，构造梯形的中位线或全等三角形例5.如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB的中点。求证：DE＝CE4证明一：取CD的中点F，联结EF，则EF∥BC，EF⊥CD，故DE＝CE。证明二：延长DE交CB的延长线于H，易证△ADE≌△BHE所以又CE为的斜边DH上的中线，故4