10.11空间几体的表面积与体积

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn10.11空间几何体的表面积与体积【知识网络】1、球的表面积和体积；2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。【典型例题】例1：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为（）A．B．C．D．答案：B；解析：取P、Q分别为AA1、CC1的中点，设矩形AA1C1C的面积为S，点B到底面AA1C1C的距离为h，则。（2）半径为R的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，

2、四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为（）A、2πR2B、4R2C、2R2D、4πR2答案：B。解析：。（3）平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体的体积为A．B．C．D．答案：C。解析：。（4）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为______。答案：。解析：P点的轨迹是以D为球心、半径为1的六分之一球，∴。（5）已知球的内接正方体的表面积为S，那么球的体积为。答案：。解析：，即，。例2：过半径为R的球面上一点P引三条长度相

3、等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。（1）若∠APB=2α，求弦长关于α的函数表达式；（2）求三棱锥P—ABC体积的最大值。答案：解：（1）由题知P—ABC为正三棱锥，作其高PO′，则O′为正△ABC的中心,球心O在PO′上，设PO′=h,PA=a，设则，在中，，，令，令=0，∴当，V有最大值，∴当正三棱锥的高时，体积最大。例3：一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。答案：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达

4、的空间共为。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：。例4：如图在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=的等腰三角形，且，面与面ABC成，与交于点E。（1）求证：；（2）求异面直线AC与的距离；（3）求三棱锥的体积。答案：①证：取AC中点D，连ED，//又是底角等于的等腰，②解：由①知是异面直线AC与的距离，为③连【课内练习】1．球与它的内接正方体的表面积之比是（　　）A．B．C．D．答案：C。解析：。2．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（）A、B、C、D、答案：D。解析：。3．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三

5、条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）A、B、C、D、答案：：D。解析：当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多最多可盛原来水得1－4．两球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为答案：4:9。解析：。5．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.答案为：。解析：。6.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_____(填”大于、小于或等于”).答案：小于。解析：V球=V正，∴，∴S球=，S正=，∴S球

6、正。7．已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.答案：解:设圆台的母线长为,则圆台的上底面面积为圆台的上底面面积为所以圆台的底面面积为又圆台的侧面积，于是，即为所求.8．如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。答案：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2

7、a，高为a的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，∴其体积。又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为，∴其体积。∵，即，∴故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）9．如图，直三棱柱的底面为Rt△ABC，∠ACB=90°