哥德尔定理及其哲学义蕴论文

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1、哥德尔定理及其哲学义蕴论文1.哥德尔其人假如让人们列举出20世纪影响人类思想的十大伟人，恐怕爱因斯坦（AlbertEinstein）、图灵（AlantTuring）、哥德尔（KurtGdel）和凯恩斯（JohnKeynes）应榜上有名，事实上，这四位也恰是2002年美国《时代周刊》上列出的“20世纪震撼人类思想界的四大伟人”，足见这四位大家思想之重要而深远。然而，对于物理学家爱因斯坦、理论计算机之父图灵，以及经济学家凯恩斯的工作，一般人总还略知一二.freelan）又引进了形式系统HA，基本特征都是引进了一套人工

2、语言代替自然语言。一般来讲，在一个形式系统中，各种陈述都表示成有穷长度的符号串，系统的形成规则指明什么样的符号串是合法的公式，一些符号串被当作公理。系统中还包括一系列推理规则，指明什么是系统中定理的证明。一个证明就是从公理出发对公式变形而形成的有穷长的公式序列，序列中的每一个公式，或者是公理，或者是由在前的公式依照推理规则形成的公式，而且系统中每一个定理都是这样经过有穷步骤得到的结果。到了20世纪20年代，这三个系统已经为逻辑学家们所普遍接受。问题是，这样的形式系统是否能囊括所有的逻辑真理？于是，希尔伯特1928

3、年明确提出问题，证明一阶谓词逻辑系统具有完全性。一年以后，哥德尔在他1929年完成的博士论文中证明，包括弗雷格、罗素和希尔伯特-阿克曼的一阶谓词逻辑的形式系统，都具有一种语义完全性，即所有普遍有效式都可在一阶谓词逻辑系统中作为定理得到证明，所谓普遍有效式，就是在一切论域中都真的公式。这一结果表明，一阶谓词逻辑系统在刻画那些逻辑真理方面是足够充分的。既然一阶谓词逻辑具有如此强大的能力，逻辑学家们期望借助它构造整个数学的形式系统，从而用形式化手段证明所有的数学真理。事实上，1900年巴黎数学家会议上，希尔伯特遵从“世

4、界上没有不可知”，“人类理性提出的问题人类理性一定能够回答”的哲学信念，提出23个问题数学问题，其中的第二个问题就是建立整个数学的一致性（即无矛盾性或称协调性），20年代希尔伯特本人曾提出了一个使用有穷方法建立实数和分析的一致性的方案，称为希尔伯特元数学方案。所谓有穷方法，粗略地说就是一套可操作的形式化程序，依照这样的程序可以一步一步地在有穷步骤内得到确切结果。1930年获得博士学位之后，为了获得大学授课资格，哥德尔开始沿着希尔伯特方案的路线着手解决希尔伯特第二问题。而不完全性定理正是解决第二问题所得的结果。哥德

5、尔最初是想寻此方案首先建立算术理论的一致性，然后再建立相对于算术而言实数理论的一致性，但出乎意外的是，他得到了与希尔伯特预期完全相反的结果，最终证明了形式算术系统的一致性不能用有穷手段证明。哥德尔首先用一阶谓词逻辑的形式语言陈述皮亚诺算术的五条公理，同时将所形成的算术形式系统记为PA，在发表于1931年的论文《论《数学原理》及有关系统中的形式不可判定命题Ⅰ》中，证明了如下两个重要结果：哥德尔第一不完全性定理：如果PA是一致的，则存在PA命题P，P在PA中不可证；如果PA是ω一致的，则P的否定﹁P在PA中不可证（1

6、936年罗塞尔（J.B.Rosser）证明可以将条件“ω一致”改为“一致”），即系统PA是不完全的，这样的P称为不可判定命题（即命题和命题的否定都不是系统的定理）。哥德尔第二不完全性定理：如果算术形式系统PA是一致的，则不可能在系统PA内部证明其一致性。哥德尔的两个不完全性定理可以更一般地表述为：哥德尔第一不完全性定理：任何足以展开初等数论的数学形式系统，如果是一致的，就是不完全的，即其中必定存在不可判定命题；哥德尔第二不完全性定理：任何足以展开初等数论的数学形式系统，如果是一致的，其一致性在系统内不可证。第二不

7、完全性定理的另一种形式：任何足够丰富的数学形式系统，如果是一致的，那么它不能证明表达它自身一致性的命题是定理。哥德尔证明第一不完全性定理的思路是，先在形式系统中构造一个命题P，这个命题形如“P在系统中不可证”，进而指出，这个命题P和它的否定﹁P都不是系统的定理，即这个命题在系统中是不可判定的。依照经典逻辑，任何一个命题，或者为真，或者为假，二者必居其一，二者只居其一，即命题和命题的否定必有一真，因此，系统中存在不可判定命题，就意味着系统中存在真的但不可证的命题。事实上，哥德尔构造的命题P身就是一个真的但在系统中不

8、可证的命题。哥德尔证明第二不完全性定理的思路是，既然有事实，如果系统PA是一致的，则P在系统PA中不可证，那么表达这个事实的论证可以在系统PA中形式化。例如，“系统PA是一致的”可以表示为Con（PA），同时把“P在系统PA中不可证”就用P表示，相应论证就表示成：├Con（PA）→P根据前述，如果Con（PA）可证，则有├P即P在系统PA中可证。这显然与第一不完全性定律相