公务员考试简单的统筹规划问题

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1、系列专题讲座（四）  简单的统筹规划问题赵民强    导读：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益．因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用．作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的．现在通过几个例题，学习一些简单的知识和解题方法。也介绍了一点不定方程的知识，只供学有余力的学生进一步学习的参考。    例1、妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯

2、要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？    分析: 本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》．烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取．怎样安排工作程序最省时间呢？    办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝．    办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝．    办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏

3、茶喝．    谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”．    开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件．它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示．    箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟．从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟．    洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图．    解: 先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时

4、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟．又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的．    说明：本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的．    例2、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？    分析: 由于1993数目较大，直接入手不容易．我们不妨先从较小的数目来进行探索规律．    如果只煎1个饼，显然需要2分钟；   

5、 如果煎2个饼，仍然需要2分钟；    如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：    首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；    其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；    最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．    解：如果煎1993个饼，最优方案应该是：    煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟；煎后面1990个饼时，每两个饼需要2分钟，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×

6、995=1990（分钟）；这样总共需要3+1990=1993（分钟）．同学们再考虑一下：煎2006张，2007张各应如何解？从中总结出规律。说明：通过本例可以看出，掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率．    例3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．    分析: 5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种不同顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．凭直觉

7、，应该把打水时间少的人排在前面，则后面等的人所费的总时间会省些．    解：首先需1分钟的人排在第一位置，需1×5=5分钟    需2分钟的人排在第二位置，共需2×4=8分钟    需3分钟的人排在第三位置，共需3×3=9分钟    需4分钟的人排在第四位置，共需4×2=8分钟    需5分钟的人排在第五位置，共需5分钟    所以共用时：1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）．    说明: 排队提水的问题，在其他一些场合也是会遇到的．例如，有一台机床要加工n个工件，每个工件需要的加工时间不一样，问应该按照什么次序加工，才能使总的等待时间最短．同