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1、2007年全国初中数学联赛四川初赛试题（3月24日上午9：00—11：00）一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)1.若a，b为实数,满足=,则(1+a+b)(1－a－b)的值是()．(A)－1(B)0(C)1(D)22.设p是正奇数，则p2除以8的余数等于()．(A)1(B)3(C)5(D)73.已知△ABC中，AB=AC=4，高AD=4，则△ABC的外接圆半径是()．(A)3(B)4(C)5(D)64.设a，b是整数，方程x2＋ax＋b=0的一根是,则a+b的值是().(A)－1(B)0(C)1(D)25.工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三
2、角形，其顶角为45°，腰长为12cm；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为4cm、10cm,且有一内角为60°．现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是()．(A)甲板能穿过,乙板不能穿过(B)甲板不能穿过,乙板能穿过(C)甲、乙两板都能穿过(D)甲、乙两板都不能穿过6.设抛物线y=x2＋kx＋4与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),则下列结论中,一定成立的是().(A)x12＋x22=17(B)x12＋x22=8(C)x12＋x22<17(D)x12＋x22>8二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1.已
3、知不等式ax+3≧0的正整数解为1,2,3,则a的取值范围是.2.如图,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,M为腰BC上一点,且△ADM为等边三角形,则S△CDM：S△ABM=．3.有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次．若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次)的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品．要使利润最大，车间应生产第种档次的产品．4.方程2x2＋5xy＋2y2=2007的所有不同的整数解共有组.三、(本大题满分2
4、0分)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(,+2),B(－1,),C(c,2－c).求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．四、(本大题满分25分)如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N.求证:BN=CN．五、(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．
5、按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（用具体的数字作答）2007年全国初中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分细则一、选择题(本大题满分42分,每小题7分，共42分)．1、C；2、A；3、D；4、B；5、A；6、D．二、填空题(本大题满分28分,每小题7分，共28分)．1、－1≦a<－；2、2；3、3；4、4．三、(本大题满分20分)．解：由条件知，+2=a+b,且=-a+b,解得a=-1,b=2-1.5分于是2-c=ac+b=(-1)c+(2-1),解得c=-210分因此，a-b=-,b-c=+1,c-a=-1；∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca=〔(a-
6、b)2+(b-c)2+(c-a)2〕=〔(-)2+(+1)2+(-1)2〕=4+.20分四、(本大题满分25分)证明：连结AC和BD，∵弦CD垂直于直径AB,∴BC=BD.5分∴∠BCD=∠BDC.∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∵∠BDC=∠OAC，∴∠BCD=∠OCA．∴△BCD∽△OCA．∴=15分在△CDN和△CAM中,∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM,∴△CDN∽△CAM；20分∵===,∴CN=CB,即BN=CN.25分五.(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、
7、…、2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（用具体的数字作答）解：由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到2，3，4，…，2006中有1002个奇数，有1003个偶数；（1）若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜．乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜；10分（2）若裁判擦去的数是偶数，此时甲一定获胜。设裁判
8、擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：（2，3），…，（2m
