勾股定理中的分类讨论

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1、勾股定理中的分类讨论　　在学习勾股定理时，有时会遇到多种情况，稍不留神就会丢解或造成错解，这就需要我们利用分类讨论思想对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解．为帮助同学们解决这类问题，现将勾股定理中需用到分类的问题为同学们分类浅析．　　一、按直角边、斜边分类　　例1　如果三条线段的长分别为3cm、xcm、5cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x等于________．　　解：（1）当以3cm、xcm为直角边，5cm为斜边时，有52＝32＋x2，x＝4；　　（2）当3cm、5cm均为直角边时，有32＋52＝x2，x＝．　　因此，x为4或．　　二、按等腰三角形的腰与底分类　　例2　

2、在等腰三角形ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，则△ABC的面积为________．　　解：（1）当5cm为腰，6cm为底时，则AB＝AC＝5cm，如图1．过A点作AD⊥BC，所以CD＝3，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，所以AD2＝52－32，AD＝4，因此S△ABC＝×6×4＝12cm2．　　（2）当6cm为腰，5cm为底时，则BC＝AC＝6cm，如图2．过C点作CD⊥AB于点D，所以AD＝，在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2，所以，CD＝，因此cm2．　　所以△ABC的面积为12cm2或cm2．　　三、按高的位置分类-3-　　例3　在△ABC中，AB＝15，AC＝13

3、，高AD＝12，则△ABC的周长为________．　　解：（1）当△ABC的高在三角形内时，如图3．由题意可知，BD2＝AB2－AD2，所以BD2＝152－122，BD＝9，CD2＝AC2－AD2，所以CD2＝132－122，CD＝5，所以BC＝9＋5＝14，因此△ABC的周长为9＋5＋15＋13＝42．　　（2）当△ABC的高在三角形外时，如图4．由题意可知，BD2＝AB2－AD2，所以BD2＝152－122，BD＝9，CD2＝AC2－AD2，所以CD2＝132－122，CD＝5，所以BC＝9－5＝4，因此△ABC的周长为4＋15＋13＝32．　　综上所述△ABC的周长为32或42．　　

4、四、按展开方式的不同分类　　例4　如图5是一个放置雕塑的长方体底座，AB＝12米，BC＝2米，BB′＝3米，一只蚂蚁从点A出发，以2厘米/秒的速度沿长方体表面爬到C′至少需（　　）　　A．分钟　　　B．分钟C．分钟D．10分钟　　解：2厘米/秒＝0.02米/秒．　　（1）将正面与右面展开，如图6．　　由两点之间，线段最短及勾股定理可知路径一：AC′2＝AC2＋CC′2＝142＋32＝205；　　（2）将左面与上面展开，如图7．　　由勾股定理知路径二：AC′2＝AD2＋C′D2＝152＋22＝229；　　（3）将正面与上面展开，如图8．-3-　　由勾股定理知路径三：AC′2＝AB2＋BC′2＝

5、122＋52＝169．因为229＞205＞169，所以路径二AC′＞路径一AC′＞路径三AC′，因此按路径三的方式爬行路程最短，÷0.02＝650秒，即分钟，故应选B．-3-