实验讲义-音叉实验-2012

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1、音叉的受迫振动与共振实验一、预备问题1、实验中策动力的频率为200Hz时，音叉臂的振动频率为多少？2、实验中在音叉臂上加砝码时，为什么每次加砝码的位置要固定？二、引言本实验借助于音叉，来研究受迫振动及共振现象。用带铁芯的电磁线圈产生不同频率的电磁力，作为驱动力，同样用电磁线圈来检测音叉振幅，测量受迫振动系统振动与驱动力频率的关系，研究受迫振动与共振现象及其规律。具有不直接接触音叉，测量灵敏度高等特点。三、实验原理1、音叉的电磁激振与拾振将一组电磁线圈置于钢质音叉臂的上下方两侧，并靠近音叉臂。对驱动线圈施加交变电流，产生交变磁场，使音叉臂磁化，产生交变的驱动力。接收线圈靠近被磁化

2、的音叉臂放置，可感应出音叉臂的振动信号。由于感应电流,代表交变磁场变化的快慢,其值大小取决于音叉振动的速度,速度越快,磁场变化越快,产生的电流越大,从而使测得的电压值越大。所以,接收线圈测量电压值获得的曲线为音叉受迫振动的速度共振曲线。相应的输出电压代表了音叉的速度共振幅值。1、简谐振动与阻尼振动物体的振动速度不大时，它所受的阻力大小通常与速率成正比，若以F表示阻力大小，可将阻力写成下列代数式：（1）式中γ是与阻力相关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围介质等的性质。物体的上述振动在有阻尼的情况下，振子的动力学方程为：其中m为振子的等效质量，为与振子属性有关的劲度系

3、数。令，代入上式可得：6（2）式中是对应于无阻尼时的系统振动的固有角频率，为阻尼系数。当阻尼较小时，式（2）的解为：（3）式中。由公式(3)可知，如果=0，则认为是无阻尼的运动，这时，成为简谐运动。在≠0，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运动。从公式可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为：（4）与无阻尼的周期相比，周期变大。2、受迫振动实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来．要使振动能持续下去，必需对振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充．振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，而周期性的外力又称驱动力．实际发生的许多振动都属

4、于受迫振动．例如声波的周期性压力使耳膜产生的受迫振动，电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受迫振动等。为简单起见，假设驱动力有如下的形式：式中为驱动力的幅值，为驱动力的角频率。振子处在驱动力、阻力和线性回复力三者的作用下，其动力学方程成为（5）仍令，得到：（6）6微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：（7）式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳定项．在振子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：（8）应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有所不同．首先其中并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其

5、次A和不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上，只要将式（8）代人方程（6)，就可计算出（9）（10）其中：在稳态时，振动物体的速度（11）其中（12）3、共振在驱动力幅值固定的情况下，应有怎样的驱动角频率才可使振子发生强烈振动？这是个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。3.1速度共振从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差，一般地说，外力方向与物体运动方向并不相同，有时两者同向，有时两者反向。同向时驱动力做正功，振子输人能量；反向时驱动力做负功，振子输出能量。输人功率的大小可由计算。设想在振子固有频率、阻尼大

6、小、驱动力幅值均固定的情况下，仅改变驱动力的频率，则不难得知，如果满足最大值时，振子的速度幅值就有最大值。6由可得：，，这时，由此可见，当驱动力的频率等于振子固有频率时，驱动力将与振子速度始终保持同相，于是驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。这一现象称为速度共振。速度幅值随ω的变化曲线如图1所示。显然或值越小，~ω关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度表示，其值等于品质因素：（13）其中为对应的频率，、为下降到最大值的0.707倍时对应的频率值。图1速度共振曲线图2位移共振曲线3.2、位移共振驱动力的频率ω为何值时

7、才能使音叉臂的振幅A有最大值呢？对式（9）求导并令其一阶导为零，即可求得A的极大值及对应的ω值为：（14）（15）由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的圆频率时，音叉臂的位移振幅A有最大值，称为位移共振，这时的ω＜ω0。位移共振的幅值A随ω的变化曲线如图2所示。6由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼很小，发生共振时位移共振幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。比较图1和图2可知，速度共振