分类例析有关函数图象对称性的高考试题

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1、分类例析有关函数图象对称性的高考试题函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的数学思想方法贯穿了整个高中数学的始终，它也是学好高等数学的基础，因此在高中数学中，函数起到了主导的作用，处于核心的地位.在高考中，函数自然占据了极其重要的位置，而函数图象和性质更是历年高考的热点和重点.而函数图象的对称性是函数其中的一个基本性质，它也是高考考查的一个重点性质，本文就结合近几年高考中关于函数图象对称性的考查，举例进行分类解析。一、直接考查函数图象的对称性（包括中心对称和轴对称）例1.（2002年高考上海春季卷12）.设

2、f（x）=12x+2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f（-5）+f（-4）+f（-3）+…f（0）+f（1）+…f（5）+f（6）的值为.[解析]∵f（x）+f（1-x）=12x+2+121-x+2=2+2x2（2x+2）=22∴f（-5）+f（6）=f（-4）+f（5）=…f（0）+f（1）=22∴代数式所求的值为6・22=32，故填32.5[评注]此题表面上是考查类比用推导等差数列前n项和的方法（倒序相加法）来求得代数式的值，但其实质上是利用函数f（x）图象的对称性即函数f（x）图象关于点（12

3、，24）对称.例2.（2008年山东卷・理4）.设函数f（x）=x+1+x-a的图象关于直线x=1对称，则a的值为（）（A）3（B）2（C）1（D）-1[解析]因为函数f（x）=x+1+x-a的图象关于直线x=-1+a2对称，因此-1+a2=1，解得a=3，故选A.例3.（2009年高考福建卷・理10）.函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-b2a对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf（x）2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）（A）1，2（B）1，4

4、（C）1，2，3，4（D）1，4，16，64[解析]设f（x）=t，且方程mt2+nt+p=0的两个实根设为t1、t2.若t1=t2，则方程f（x）=t1的两个实根x1、x2应满足x1+x2=-b2a，故A、B都有可能.若t1≠t2，则方程f（x）=t1的两个实根x1、x2与方程f（x）=t2的两个实根x3、x4都应满足x1+x2=-b2a=x3+x4，因此C也有可能，故选D.例4.（2009年高考辽宁卷・理12）.若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，则x1+x2=（）（A）52（B

5、）35（C）72（D）4[解析]2x=5-2x，2log2（x-1）=5-2x，即2x-1=52-x，log2（x-1）=52-x，作出y=2x-1，y=52-x，y=log2（x-1）的图像（如下图），y=2x-1与y=log2（x-1）的图像关于y=x-1对称，它们与y=52-x的交点A、B的中点为y=52-x与y=x-1的交点C，xC=x1+x22=74，∴x1+x2=72故选C.例5.（2009年高考福建数学卷・理20）.已知函数f（x）=13x3+ax2+bx，且f（-1）=0w（1）试用含a的代数式表

6、示b，并求f（x）的单调区间；（2）令a=-1，设函数f（x）在x1，x2（x10时，函数f（x）=ax-b+2的单调递增区间是[b，+∞）。当a0且b≤0。例5.（2008年高考全国卷Ⅰ・理9）.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）-f（-x）x0f（x）0=f（-1）00）在区间[-8.8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=。5[解析]因为定义在R上的奇函数满足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=f（-x），即函数图象关于直线x=-

7、2对称且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x）即函数f（x）是周期T=4[0-（-2）]=8的周期函数，又因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（x）在区间[-2，0]上也是增函数.如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间-8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1a）对称f（x）=f（2a-x）且f（x）=f（2b-x）f（2b-x）=f（2a-x）f[2（b-a）+x]=f（x），因此f（x）的一个正周期为2（b-a）.2.函数y=f（x）的图象会关于两个

8、点M（a，0）和N（b，0）（b>a）对称f（x）+f（2a-x）=0且f（x）+f（2b-x）=0f（2b-x）=f（2a-x）f[2（b-a）+x]=f（x），因此f（x）的一个正周期为2（b-a）.3.函数y=f（x）的图象会关于一个点M（a，0）和一条直线x=b（b>a）对称f（x）+f（2a-x）=0且f（x）=f（2b-x）f（2b-x）=-f（2a-x）f[