关于同济六版《高等数学》的几点注记

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1、关于同济六版《高等数学》的几点注记　　摘要本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，对比区分了易混的三组概念和符号，探讨了从数列极限到函数极限的自然过渡方法，分析了常系数非齐次线性微分方程求特解时多项式的设置方式，发散了高斯公式的应用中一道例题的解法。关键词同济六版高等数学符号概念解题方法注记中图分类号：G642文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.01.021同济六版《高等数学》是一部经典的工科类本科数学基础课程教学的教材，适合当前我国各类高校工科类本科专业根据不同的教学要求分层次

2、教学的需要。但是，再完美的教材鉴于作者的认知方式也有不尽如人意的地方。概念、符号、解题方法对于高等数学来说是精髓，是灵魂，本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，以资借鉴和提高。1几个基本概念、符号的说明对高等数学课而言，学生要想把它学好、学精，离不开对一些基本概念的理解和一些符号的准确掌握，尤其对于初学者。所以，作为教师就要在授课时对学生正确引导，注意区分，多加强调。1.1单侧极限、单侧导数及导数的单侧极限的符号7同济六版《高等数学》第一章第三节（P34）给了单侧极限概念，把左、右极限分别记作（）=（）、（）=（）；

3、第二章第一节（P83）给了单侧导数概念，把左、右导数分别记作（）=、（）=；按照上面这两种记法，不难想象（）、（）分别表示的就应该是函数（）的导函数（）在点处的左、右极限，也就说有（）=（）、（）=（）。这里以→为例说明这些符号的不同。（）、（）、（）分别代表的就是函数（）在处的右极限、右导数及导数的右极限，其中（）还蕴含函数（）在的右邻域（，+）内每一点可导。虽然其符号极其相似，但这三个是完全不同的概念，不能混为一谈，尤其要引导学生正确书写和理解不同符号的含义，特别是对于后两者，很多高等数学的初学者在解题的时候误认为（）=

4、（）=（），求分段函数在其分支界点处的导数时，用这种方法可能会导致计算结果的错误。比如下面这一问题，设，则（0）===0，当≠0时，（）=2，而（2）不存在，就是（）没有意义，所以说（）与（）之间一般不存在相互关系，不要错误利用来解题。同济六版《高等数学》第二章第一节（P87）给了这样一道习题：设函数，为了使函数（）在=1处连续且可导，、应取什么值？常规的解法应该是：（）在=1处连续，有（）=7（），即1=；（）在=1处可导有（1）=（1），即==，从而=2，=。值得一提的是，很多学生在做作业的时候关于（）在=1处的可导性条

5、件是这么用的：当≤1时，（）=，当>1时，（）=，由条件知（）=（），而（）=（）=2，（）==，从而=2，=。很多老师在批改作业的时候就认为学生的这种做法是错误的，事实上王金金，任春丽在文献[3]中已经证明：设函数（）在[，+]上连续，在（，+）内可导，且（）=存在，则函数（）在点处的右导数（）存在，且有（）=（）=（）。所以，尽管（）与（）是不同的概念，但是在一定条件下它们之间有联系，既要引导学生正确区别，同时不要不假思索地给学生的作业判错，要引以为戒。1.2函数微分学的一些符号同济六版《高等数学》第二章第三节（P99）

6、给了高阶导数的概念，以二阶导数为例：一般的，函数=（）的导数=（）仍然是的函数。我们把=（）的导数叫做函数=（）的二阶导数，记作或，即=或=（）。其中符号==；表示的二阶微分，即是对微分两次（=0）；表示对微分一次，即=。三者表示的是不同的含义，不能混淆，尤其是=7与≠。比如像有的教材上给出如下的习题：设=，求，，，。像上述例题中的表达式，就不准确，误认为=与=。1.3最值与极值的定义同济六版《高等数学》第一章第十节（P70）给了函数最值的概念：对于在区间上有定义的函数（），如果有，使得对于任一都有（）≤（）（（（）≥（））

7、，则称（）是函数（）在区间上的最大值（最小值）。第三章第五节（P154）给出了函数极值的概念：设函数（）在点的某邻域（）内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有（）（）），那么就称（）是函数（）的一个极大值（或极小值）。上述两个概念是有很大不同的。首先，最值是定义在函数有意义的某个区间上，是一个全局性的概念，而极值是定义在函数有意义的某点的某邻域范围内，是一个局部性的概念；其次，最值的定义中“对于任一都有（）≤（）（（）≥（））”，可以取，（）也可以等于（），而极值的定义中“对于去心邻域内的任一，有（）（））”，≠，（）也是严

8、格大于或者小于（）；比如定义在区间[0，2]的常数函数=71，在区间[0，2]上能取到最值，区间[0，2]上的每个点都是最值点，但是此函数在区间[0，2]上取不到极值；第三，极值一定是局部的最值，最值却不一定是极值，极值只能在区间内部取到，而最值可以在区间端点取到。2函数的极限的讲解方法从