简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

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1、简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。下面总假设表示关于变量的有理函数。1．型函数的不定积分。其中解法：作变量替换，即,于是，转化为有理函数的不定积分。例1．求分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。，，，作变量替换，即，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。解：作变量替换，即，则例2．求解：设则，，所以2．型函数的不定积分，其中（即方程无重根）分两种情况讨论：（1）时，方程有两个

2、不等的实数根、这时，设，即，从而有于是，这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例3．求解：方程有两个根：，，设，则，即，于是，（2）时，方程没有有实数根。此时，、同号（否则），且（否则时，没有意义），从而设，则，或，此时，从而这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例4．求解：设，或，即有，，∴（3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。例5．求例6．求例7．求二、三角函数的不定积分三角函数有理式的积分，即型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法——万能代换。令，就有，且，于是化

3、为了有理函数的不定积分。讲解课本例8、例9。补充例子：求解：(用万能代换)还可以用其它的解法。解法2：(用初等化简).解法3：(用初等化简,并凑微)可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。下面介绍一些特殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。1．如果，那么可设即可例10．求解：可见，在解题时不一定要“设”，懂得“凑”就行了。2．如果，那么设即可例11．求解：3．如果，那么设即可例12．求解：4．被积函数是形如的三角函数，分两种情况：（1）如果n与m至少有一个是奇数，那么n是奇数时设；m是奇数时

4、设。例13．求解：（2）如果n与m都是偶数，则通过三角公式，，将被积函数降幂、化简。例14．求解：5．如果被积函数是形如、、的函数，那么就用积化和差公式将被积函数化简。例15．求上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如，，，这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等函数来表示。（用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。）