九年级下人教新课标28.2解直角三角形应用举例2教学资料

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1、应用举例知识点拨:1.如下左图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.2.如上右图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示，即：i＝.坡面与水平面的夹角叫做坡角.用字母α表示，即：i＝＝tanα.方法指导：使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.疑难解析：例1甲、乙两楼相距80米，从乙楼楼底望甲楼楼顶的仰角为45°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，试求两楼的高.解：设AB为乙楼，CD为甲楼(如图)在Rt△

2、ACD中，∠DAC＝45°，∴CD＝AC＝80过B作BE⊥CD于点E，设AB＝x则DE＝(80-x)米在Rt△BED中，∠DBE＝30°，BE＝AC＝80米tan∠DBE＝即＝解得：x＝80(1-)则AB＝80(1-)(米)CD＝80米答：甲楼高为80米，乙楼高为80(1-)米.说明：本例构造了两个直角三角形，通过解直角三角形来求解.例2如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1∶，坡面AB的水平宽度为3米，上底宽AD为4米，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少?分析：将实际问题转化为数学问题，如

3、图所示，实际已知i＝1∶，即知＝，BE＝3AD＝4，求∠B、AE、BC.此题实质转化为解直角三角形的问题.解：∵tanB＝i＝＝又∵∠B是锐角∴∠B＝30°又∵＝i＝又∵BE＝3∴AE＝3×＝3BC＝2BE+AD＝2×3+4＝4+6答：坡角B为30°，坝高AE为3米，坝底宽为(6+4)米.注意：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称.(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形同题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.梯形也是通过作底面高线来构造直角三角

4、形.(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边.例3如图一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近?最近距离是多少?分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示，船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠A＝90°-60°＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，AB＝8海里，求BD和CD的解直角三角形

5、问题.解：根据题设可知△ABC中，∠CAB＝30°∠ABC＝120°，AB＝BC＝8∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度.在Rt△CBD中，BC＝8，∠BCD＝60°于是，BD＝BC·cos60°＝8×＝4(海里)CD＝BC·sin60°＝8×＝4(海里)答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是4海里.注意：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障.典例精评例1如图，在山顶B处有一铁塔AB，在A处测得地面上一点C的俯角为60°，在塔底B测得C俯角为45°，已知AB＝30米，求山高DB的值.分析本题

6、图形中有两个直角三角形，它们有公共边DC，所以用含有BD的代数式表示DC和AD，而DC和AD在Rt△ADC中，可利用三角函数关系式列出DC的方程，由BD＝DC，得到结论.解：由已知条件得：BD＝DC，AD＝30+BD，∠ACD＝60°在Rt△ADC中，tan60°＝＝＝∴DC＝15(+1)(米)∴BD＝15(+1)(米)答：山高DB为15(+1)米例2一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据图中数据求出坡角α和坝底宽AD(如图所示).分析此题应正确理解，应用坡度、坡角的概念及联系，即i＝tanα＝，将梯形问题，

7、添加高线把梯形转化为两个直角三角形及矩形来解.解：过C作CF⊥AD于F∵AB＝CD，BC∥AD∴CF＝BE＝6，EF＝BC＝4又∵i＝1∶∴AE＝FD＝·CF＝×6＝6（米）∴AD＝AE+EF+FD＝4+12（米）∵tanα＝＝i＝＝∴α＝30°答：坡角α＝30°，坝底宽AD＝(4+12)米.考点预测利用三角函数知识解决实际问题在每年的中考题中都有可能出现，并且多以综合题形式出现.例1如图，在平地D处测得树顶A的仰角为30°，向树前进10米，到达C处，再测得树顶A的仰角为45°，求树高AB.(结果保留根号)分析：

8、先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形已知∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，CD＝10米，求AB.由于AB所在的Rt△ABC和Rt△ABD都不够解三角形的条件，所以需设AB＝x，同时解两个直角三角形，得到关于x的方程再求出x的值.解：设AB＝x米，则在Rt△ABC和Rt△ABD中BC＝ABcot45°BD＝AB·cot30°∴CD＝BD-BC＝x