辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期3月联合考试 数学 Word版含解析.docx

《辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期3月联合考试 数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

过宁省名校联盟2024年高二3月份联合考试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知，则（）A.B.C.D.2已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.4.已知θ为第二象限角，若，则在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.46.若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.C.108D. 7.若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（）A.B.C.D.8.已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度10.已知是夹角为的单位向量，且，则（）A.B.C.与的夹角为D.在方向上的投影向量为11对于直线，则（）A.的充要条件是或B.当时，C.直线经过第二象限内的某定点D.点到直线的距离的最大值为12.在四面体中，棱的长为，若该四面体的体积为，则（）A.异面直线与所成角大小为B.的长不可能为 C.点D到平面的距离为D.当二面角是钝角时，其正切值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若某圆锥的侧面积为底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为______．14.在中，内角的对边分别为，且，则这个三角形一定是______三角形．15.已知抛物线的焦点为为坐标原点，M为抛物线上异于点O的动点，则的最小值是______．16.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式．（1）；（2）．18.已知函数有唯一零点，函数．（1）求单调递增区间，并用定义法证明；（2）求的值域．19.已知集合，集合．（1）当，求；（2）已知“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围．20.已知． （1）求的值；（2）求的值．21.如图，多面体是由三棱柱截去部分后而成，D是的中点．（1）若平面，求点C到平面的距离；（2）如图，点E在线段上，且，点F在上，且，问为何值时，∥平面？22.已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为，过点作x轴的垂线与T在第二象限的交点为的面积为，且．（1）求T的方程；（2）已知点P为直线上一动点，过点P向T作两条切线，切点分别为．求证：直线恒过一定点Q，并求出点Q的坐标． 绝密★启用前过宁省名校联盟2024年高二3月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的定义即可判断AB，根据复数的模的计算公式即可判断CD.【详解】由复数，可得两个复数不能比较大小，故AB错误，，所以，故C错误，D正确.故选：D.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由解出不等式，得到集合B，再由交集的定义即可得到结果. 【详解】由得，又因为，所以故选：C.3.已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直求出，进而求出离心率.【详解】双曲线：的渐近线方程为，双曲线的一条渐近线与直线垂直，双曲线一条渐近线的斜率为，所以，即，因此双曲线C的离心率.故选：C.4.已知θ为第二象限角，若，则在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断.【详解】解：因为θ为第二象限角， 所以，则，当时，，当时，，因为，所以，所以在第三象限，故选:C5.函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】在坐标平面中画出两个函数的图像，从而可判断零点的个数.【详解】函数的零点个数，即函数与的交点个数，在坐标平面中画出两个函数的图像，如图所示：则两个图像交点的个数为2，故选：B6.若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.C.108D.【答案】A【解析】【分析】令，结合已知求出，再求出展开式的通项，令的指数等于零，即可得解. 【详解】令，可得，所以，则展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为.故选：A.7.若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径.【详解】设球心为，半径为，若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图：设，由题可得，，，，则，解得．故球的直径为．若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图：设，由题可得，，，， 则，解得（不合题意舍去）．故选：D．8.已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围.【详解】设，由，得，所以，令，则，所以函数在上单调递增，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以对任意的，，所以，函数为上的偶函数，且，由，可得，即，即，所以，解得，故选：D【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故A正确，B错误；先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，故C正确，D错误.故选：AC10.已知是夹角为的单位向量，且，则（）A.B.C.与的夹角为D.在方向上的投影向量为【答案】ABD【解析】 【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.【详解】设与的夹角为，对B，因为，B正确；对A，，A正确；对C，，所以，C错误；对D，在方向上的投影为，D正确.故选：ABD11.对于直线，则（）A.的充要条件是或B.当时，C.直线经过第二象限内的某定点D.点到直线的距离的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】求出的充要条件即可判断A；根据两直线垂直得充要条件即可判断B；求出直线经过的定点即可判断C；判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】对于A，若，则，解得或，经检验，符合题意，所以或，所以的充要条件是或，故A正确；对于B，当时，，所以，故B正确；对于C，由，得，令，解得， 所以直线经过定点，位于第二象限，故C正确；对于D，由，得，令，解得，所以直线过定点，当时，点到直线的距离的最大，最大值为，故D错误.故选：ABC.12.在四面体中，棱的长为，若该四面体的体积为，则（）A.异面直线与所成角的大小为B.的长不可能为C.点D到平面的距离为D.当二面角是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得，即可由异面直线的角的定义求解A，根据余弦定理即可求解B，根据等体积法即可求解C，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面内过作，且,由于，故四边形为矩形，平面，故平面，故，, 故,因此，由于，所以或，由于为异面直线与所成角或其补角，故异面直线与所成角的大小为，A正确，当时，,由于平面，平面，平面，故，此时,故B错误，当时，,此时,由于,当时，，故，,当时，，故，,综上可得，故点D到平面的距离为,C正确，当时，,取中点，连接则即为二面角的平面角， 所以,故为钝角，符合题意，此时，当时，,取中点为，连接则即为二面角的平面角，所以,故为钝角，符合题意，此时，当，由于，点A到平面的距离为,设在平面的投影为,则,故因此点为以为圆心，以半径为为半径的圆的交点，显然交点位于,同的一侧，（如图），故此时二面角为锐角，不符合要求，故D正确，故选：ACD 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若某圆锥的侧面积为底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为______．【答案】【解析】【分析】设出圆锥的底面半径r和母线l，根据条件得到r、l的关系式，由此可表示出圆锥的高h，根据可求结果.【详解】设圆锥底面半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为，由题意可得，得，由勾股定理可得圆锥的高，所以，故答案为：14.在中，内角的对边分别为，且，则这个三角形一定是______三角形．【答案】等腰【解析】 【分析】利用余弦定理化角为边，进而可得出答案.【详解】因为，由余弦定理得，即，所以，所以这个三角形一定是等腰三角形.故答案为：等腰.15.已知抛物线的焦点为为坐标原点，M为抛物线上异于点O的动点，则的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】设，则，故，再利用换元法结合二次函数性质即可得解.【详解】，设，则，则，故，令，则，则，当，即时，，所以的最小值是. 故答案为：.16.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解.【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，其中甲、乙参加同一项目的方案种，则所求的参赛方案一共有种；因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案，若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，故总共有种不同的方案；若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，故共有种不同的方案；同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式．（1）；（2）．【答案】（1）75（2）【解析】【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得出结果（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果；【小问1详解】【小问2详解】18.已知函数有唯一零点，函数．（1）求的单调递增区间，并用定义法证明；（2）求的值域． 【答案】（1）的单调递增区间为，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由函数有唯一零点，可得，即可求出，再利用定义法求函数的增区间即可；（2）根据函数的单调性求函数的值域即可.【小问1详解】因为函数有唯一零点，所以，解得（舍去），所以，，函数的单调递增区间为，令，则，因为，所以，所以，即，所以函数上单调递增，令，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递减， 综上所述，的单调递增区间为；【小问2详解】由（1）知，当时，，所以的值域为．19.已知集合，集合．（1）当，求；（2）已知“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】19.或20.【解析】【分析】（1）先根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解；（2）由题意可得是的真子集，再由分类讨论即可得出答案.【小问1详解】，当，，故或，所以或；【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，，符合题意；当时，，不符合题意， 当时，，所以，解得，综上所述，.20.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）根据结合诱导公式求解即可；（2）先根据商数关系及二倍角公式化简，再根据诱导公式及二倍角公式将所求角化为已知角，进而可得出答案.【小问1详解】；【小问2详解】 .21.如图，多面体是由三棱柱截去部分后而成，D是的中点．（1）若平面，求点C到平面的距离；（2）如图，点E在线段上，且，点F在上，且，问为何值时，∥平面？【答案】（1）（2）【解析】【分析】1）由，，可得面，即点到面的距离等于；（2）当时，直线平面，理由如下：在上取点，使得，平面，取的中点，连接，可得，则平面，所以平面平面，可得证.【小问1详解】多面体是由三棱柱截去一部分后而成，是的中点，平面，平面，又，，面，面， ∴面，又面，则，而，所以，又∵，是的中点，∴，，可得，即，，面，面，∴面，∴点到面的距离；【小问2详解】当时，直线平面，理由如下：设，则，在上取点，使得，所以，而，平面，平面，所以平面，取的中点，连接，可得，当时，，所以，则，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面平面，平面，所以平面，此时 22.已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为，过点作x轴的垂线与T在第二象限的交点为的面积为，且．（1）求T的方程；（2）已知点P为直线上一动点，过点P向T作两条切线，切点分别为．求证：直线恒过一定点Q，并求出点Q的坐标．【答案】（1）（2）证明见详解，【解析】【分析】（1）表示出各点的坐标，由，得的关系式，然后再根据的面积，列式得关于的关系，两式联立求解得，即可得椭圆的标准方程；（2）利用过椭圆上一点的切线方程可得直线的方程和直线的方程，从而得直线的方程，整理可证问题.【小问1详解】由题意可得，，因为，所以，得．又因为轴，且在第二象限，所以可得， 所以的面积为，所以，，解得，所以椭圆的方程为，【小问2详解】设点，先证明过椭圆C：上一点的切线方程为，由椭圆T：，则有当时,，求导数为：,∴当时，.∴切线方程为，整理为：,两边同时除以得：.同理可证：时,切线方程也为.当时,切线方程为满足.综上,过椭圆上一点的切线方程为. 则直线的方程为，直线的方程为，因为在这两条切线上，所以，所以直线的方程为，①因为在直线上，所以，所以，代入①得，整理得当时，过定点，解得，所以.【点睛】结论点睛：（1）过圆上一点的切线方程为：，（2）过圆外一点的切点弦方程为：.（3）过椭圆上一点的切线方程为，（4）过双曲线上一点的切线方程为