广东省深圳联盟校2023-2024学年高一上学期期中数学（解析版）.docx

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2023～2024学年度高一上学期期中考试数学试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一第一、三、三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则等于（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据集合的补集、并集直接运算即可.【详解】，，，，故选：B2.命题：，的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定判断．【详解】由题意得，的否定是，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 2023～2024学年度高一上学期期中考试数学试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一第一、三、三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则等于（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据集合的补集、并集直接运算即可.【详解】，，，，故选：B2.命题：，的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定判断．【详解】由题意得，的否定是，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 故选：B3.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】由题意可得：，解得.故选：D.4.已知，，若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断.【详解】因为，当时，，故ABC错误；由，得，则，即，故D正确；故选：D5.高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是A.B.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若关于的不等式的解集是全体实数，则实数的取值范围是（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】当＝0时，不等式恒成立；当≠0时，结合二次函数的图象知且△＜0，解出的范围即可.【详解】解：原不等式可化为，当＝0时，不等式显然恒成立，此时解集是全体实数；当≠0时，，解得．综上所述：的取值范围是．故选：A．7.下列函数最小值为4的是（）A.B.C.D.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式逐项计算与判断后可得正确的选项.【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，因为，，所以，当且仅当，即取等号，所以函数最小值为4，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，而无解，故等号不成立，函数最小值不是4，故C错误；对于D，取，则，故D错误.故选：B.8.已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（）A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，则在上为增函数，由，则，由，则或，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 则或解得或，则不等式的解集为或.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】先根据“，”为真解出a的取出范围，进而得到答案.【详解】若命题“，”是真命题，则，即，对比选项，、均为的一个充分不必要条件.故选：BC.10.下列各项中，与表示同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】AD【解析】【详解】A，，与对应关系相同，且两个函数的定义域也相同，故与表示同一个函数；；故A正确；B，中，定义域，与定义域不同，故与不能表示同一个函数，故B错误C，中，定义域，与定义域不同，故与不能表示同一个函数，故C不正确；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 D，，当时，，当时，，故，故与表示同一个函数，故D正确；故选：AD11.在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，下列结论正确的是（）A.y不是n的函数B.y是n的函数，且该函数定义域为C.y是n的函数，且该函数值域为D.y是n的函数，且该函数在定义域内不单调【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的定义以及函数单调性性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由题意可知圆周率小数点后第n位上的数字y是唯一确定的，即任取一个正整数n都有唯一确定的y与之对应，因此y是n的函数，且该函数定义域为，值域为，并且y在每个位置上数字是确定的，比如取到小数点后面4个数字时为，故函数不具有单调性，故A错误，正确,故选：12.对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（）A.B.C.若，则D.若Ü，则【答案】ABC【解析】【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 若，具有包含关系，不妨设是的真子集，对于A，图中，，图中，所以，A正确；对于B，图中，成立，图中，，，所以成立，故B正确；对于C，若，则；故C正确；对于D，由图2可知，若Ü，则，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数满足，则___________.【答案】【解析】分析】根据函数解析式，令，即可求得答案.【详解】因为函数满足,故令，可得，故答案为：.14.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为________．【答案】【解析】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【分析】由函数幂函数可得，由单调性可得，即可求解.【详解】因为函数是幂函数，所以，即，解得：或，当时不满足在上单调递增，当时，在上单调递增，所以，故答案为：15.若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】【分析】方程有两个不相等的实数解即直线与的图象有两个不同的交点，数形结合即可得到结果.【详解】关于的方程有两个不相等的实数解即直线与的图象有两个不同的交点，作图如下：由图易知：实数的取值范围是或故答案为或【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a的取值范围.【详解】解：在上恒成立，则当时，恒成立，所以，又，即，故当时，，所以；当时，恒成立，所以，又当且仅当，即时，等号成立，所以，所以；综上，实数a的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）根据得出，然后即可得出的取值范围．【小问1详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 当时，，∴；【小问2详解】因为，所以，所以，所以的取值范围为：．18.设集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先利用补集概念求，再结合交集概念求；由“”是“”的充分不必要条件，可得，再建立不等关系求m的取值范围即可.【小问1详解】由题意知当时，，故，而，故．【小问2详解】由“”是“”的充分不必要条件，可得为的真子集，又，故需满足且中等号不能同时取得，解得，综上所述：的取值范围为19.已知是定义在上的奇函数，当时，.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （1）求的值；（2）求的解析式；（3）画出的简图；写出的单调区间（只需写出结果，不要解答过程）.【答案】（1），；（2）（3）简图见详解，增区间是，减区间是．【解析】【分析】小问1：根据函数的解析式和函数的奇偶性可求，的值；小问2：利用函数的奇偶性的性质可求的解析式；小问3：根据（2）的解析式可得的简图，结合图象可求的单调递增区间．【小问1详解】当时，，所以，又.【小问2详解】因为是定义在上的奇函数，当时，；当时，，，所以，所以.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【小问3详解】因为，由此作出函数的图象如图：结合图象，知的增区间是，减区间是．20.已知函数（，），且，.（1）求，；（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由，，代入直接可求；（2）应用定义法证明单调性.【小问1详解】因为，，所以解得【小问2详解】由（1）知：，在上单调递减，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 证明如下：在上任取，且，，∵，∴，，，∴，∴，所以在上单调递减.21.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．（1）若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由已知得，篱笆总长为，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得，然后令，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值.【小问1详解】由已知可得，篱笆总长为．又因为，当且仅当，即时等号成立．所以当时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得，又因为，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是．22.若函数.（1）讨论的解集；（2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）或【解析】【分析】（1）分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；（2）令，原题等价于，对使得恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围.【小问1详解】已知，①当时，时，即；②当时，，若，，解得，若，，解得或，若，，解得，若时，，解得或，综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.【小问2详解】若，则，，令，原题等价于，对使得恒成立，令，是关于的减函数，对，恒成立，即，又，，即，故，解得或.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若上有解，则；④在上有解，则.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司