《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）

《《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）专题03由垂直求角【例题讲解】如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°,求∠BOE的度数;(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4,求∠AOF的度数．解(1)解：∵OF⊥CD,∴∠COF=90°,∵∠AOF=50°,∴∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=∠BOC=70°;(2)解：∠BOD：∠BOE=1：4,设∠BOD=∠AOC=x,∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角,∴∠AOC+∠BOC=180°,即x+4x+4x=180°,解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角,∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．【综合解答】1．如图,直线AB、CD相交于点O,∠DOE＝∠BOD,OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系,并说明理由;(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5,求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD,理由见解析;(2)∠EOF＝60°【分析】(1)利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案;17

1《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(2)求出∠AOC的度数,再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,进而得出∠EOF的度数．(1)解：OF⊥OD,理由：∵OF平分∠AOE,∴∠AOF＝∠FOE,∵∠DOE＝∠BOD,∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°,即∠FOD＝90°,∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD;(2)∵∠AOC：∠AOD＝1：5,∴∠AOC＝×180°＝30°,∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,∴∠AOE＝120°,∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质,正确得出各角之间的关系是解题关键．2．如图,AB交CD于O,OE⊥AB．(1)若∠EOD＝30°,求∠AOC的度数;(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3,求∠BOC的度数．【答案】(1)60°(2)135°【分析】(1)利用垂直定义和对顶角的性质可得答案;17

2《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(2)设∠EOD=a,∠EOC=3a,利用邻补角互补可得方程,然后解出a的值,进而可得∠AOD的度数,再利用对顶角的性质可得答案．(1)解：∵OE⊥AB,∴∠AOE＝90°,∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°,∠EOD＝30°,∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60°(2)设∠EOD＝α,∵∠EOD：∠EOC＝1：3,∴∠EOC＝3α,∵∠EOD＋∠EOC＝180°,∴α＋3α＝180°,∴∠EOD＝α＝45°,∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135°∵∠AOD与∠BOC为对顶角,∴∠BOC＝∠AOD＝135°【点睛】此题主要考查了垂线,以及对顶角,关键是掌握对顶角相等,理清图中角之间的关系．3．如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD．(1)若∠EOF＝55°,OD⊥OF,求∠AOC的度数;(2)若OF平分∠COE,∠BOF＝15°,求∠DOE的度数．【答案】(1)70°(2)50°17

3《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）【分析】(1)根据∠EOF＝55°,OD⊥OF,可知∠DOE＝35°,由于OE平分∠BOD,可知∠BOE＝35°,即可得出答案;(2)设∠DOE＝∠BOE＝x,可知x+15°+x+15°+x＝180°,解得：x＝50°．(1)解：∵OE平分∠BOD,∴∠BOE＝∠DOE,∵∠EOF＝55°,OD⊥OF,∴∠DOE＝35°,∴∠BOE＝35°,∴∠AOC＝70°;(2)∵OF平分∠COE,∴∠COF＝∠EOF,∵∠BOF＝15°,∴设∠DOE＝∠BOE＝x,则∠COF＝x+15°,∴x+15°+x+15°+x＝180°,解得：x＝50°,故∠DOE的度数为：50°．【点睛】本题主要考查的是角度的基础运算,利用角平分线以及垂直的性质进行计算是解题的关键．4．如图,直线与相交于点,平分,平分,．(1)求证：;(2)若,求的度数．【答案】(1)见解析(2)111°17

4《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）【分析】利用角平分线的性质证明,从而证明,再由,通过两角互余及等量代换可证明;利用对顶角相等和角平分线的性质可证明,再利用、即可求出．(1)∵平分,平分,,,,,,;(2),,．【点睛】本题考查的是角平分线、余角、对顶角等知识,解题的关键是熟练通过两角互余、对顶角、角平分线的性质等相应关系进行角的代换解决问题．5．如图,AB、CD相交于点O,OE⊥OF,∠BOF=2∠BOE,OC平分∠AOE．17

5《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(1)求∠BOE的度数;(2)求∠EOC的度数．【答案】(1)30°(2)75°【分析】(1)根据OE⊥OF得到∠EOF＝90°,根据∠BOF＝2∠BOE得到3∠BOE＝90°,故可求解;(2)先求出∠AOE,再根据OC平分∠AOE即可求解．(1)∵OE⊥OF,∴∠EOF＝90°,∵∠BOF＝2∠BOE,∴3∠BOE＝90°,∴∠BOE＝30°,(2)∵∠BOE＝30°∴∠AOE＝180°−∠BOE＝150°,又∵OC平分∠AOE,∴∠EOC＝∠AOE＝75°．【点睛】本题利用垂直的定义,角平分线的定义以及角度的计算,要注意领会由垂直得直角这一要点．6．如图,OA⊥OB,∠BOC=50°,且∠AOD：∠COD=4：7,OE为∠BOC的平分线,求出∠DOE的度数．17

6《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）【答案】165°【分析】设∠AOD=4x,∠COD=7x,根据题意列出方程即可求得∠COD=140°,然后根据角平分线的定义计算∠COE的度数,最后结合图形计算∠DOE的度数．【详解】解：∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∵∠AOD：∠COD=4：7,∴设∠AOD=4x,∠COD=7x,∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC=360°,且∠BOC=50°,∴90°+7x+4x+50°=360°,∴x=20°,∴∠COD=140°．∵OE是∠BOC的角平分线,∴∠COE=∠BOC=25°,∴∠DOE=∠COD+∠COE=165°．∴∠DOE的度数为165°．【点睛】本题考查的是角的计算,角平分线的定义,根据题意列出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．7．已知直线AB和CD相交于O点,射线OE⊥AB于O,射线OF⊥CD于O,且∠BOF＝25°,求∠AOC与∠EOD的度数．17

7《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）【答案】∠AOC＝115°,∠EOD＝25°【分析】由OF⊥CD,得∠DOF=90°,根据条件可求出∠BOD的度数,即可得到∠AOC的度数;由OE⊥AB,得∠BOE=90°,可以推出∠EOF和∠EOD的度数．【详解】解：∵OF⊥CD,∴∠DOF＝90°,又∵∠BOF＝25°,∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°,∴∠AOC＝∠BOD＝115°,又∵OE⊥AB,∴∠BOE＝90°,∵∠BOF＝25°,∴∠EOF＝∠BOE-∠BOF=65°,∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识,关键是根据垂线的定义得出所求角与已知角的关系．8．如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OG⊥OC．(1)求证：∠COF＝∠EOG;(2)若∠BOD＝32°,求∠EOG的度数．【答案】(1)见解析;(2)∠EOG=16°．【分析】(1)根据余角的性质即可求解;17

8《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(2)根据对顶角的定义,角平分线的定义,以及(1)的结论即可求解．【详解】(1)证明：∵OF⊥OE,OG⊥OC,∴∠FOE=∠COF+∠COE=90°,∠COG=∠EOG+∠COE=90°,∴∠COF=∠EOG;(2)解：∵∠BOD=32°,∴∠BOC=180°-32°=148°,∵OG⊥OC,OE平分∠BOC,∴∠BOG=90°-∠BOD=90°-32°=58°,∠BOE=∠COE=∠BOC=74°,∴∠EOG=∠BOE-∠BOG=16°．【点睛】本题考查了垂线,余角,对顶角,角平分线,解题的关键是掌握垂直的定义,余角和对顶角的性质和角平分线的定义等知识．9．如图,直线AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=20°,求∠BOE和∠AOG的度数.【答案】∠BOE=70°;∠AOG=55°.【分析】先求出∠AOF,根据对顶角的性质得出∠BOE,再根据邻补角的性质求出∠AOE,由角平分线即可求出∠AOG．【详解】解：∵AB⊥CD,∴∠AOD=∠AOC=90°,∵∠FOD=20°,∴∠AOF=90°-20°=70°,∴∠BOE=70°;∴∠AOE=180°-70°=110°,∵OG平分∠AOE,∴∠AOG=110°÷2=55°.【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的定义,弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键.10．如图,直线EF、CD相交于点O,OA⊥OB,OC平分∠AOF．17

9《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(1)直接写出∠DOF的对顶角和邻补角;(2)若∠AOE＝30°,求∠BOD的度数．【答案】(1)对顶角有∠COE;邻补角有∠DOE,∠COF;(2)15°【分析】(1)根据对顶角和邻补角的定义,即可求解;(2)根据领补角的定义可得∠AOF=150°,从而得到∠DOE=75°,再由OA⊥OB,可得∠BOE=60°,即可求解．(1)解：根据题意得：∠DOF的对顶角有∠COE;邻补角有∠DOE,∠COF;(2)解：∵∠AOE＝30°,∴∠AOF=180°-∠AOE=150°,∴∠AOC=∠COF=75°,∴∠DOE=75°,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠BOE=90°-∠AOE=60°,∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质,角的和与差,明确题意,准确找到角与角间的关系是解题的关键．11．如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB．17

10《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(1)若∠1=∠2,证明：ON⊥CD;(2)若∠1=∠BOC,求∠BOD的度数．【答案】(1)ON⊥CD．(2)60°．【分析】(1)利用垂直的定义得出,进而得出答案;(2)根据题意得出的度数,即可得出的度数.【详解】(1)ON⊥CD．理由如下：∵OM⊥AB,∴,∴∠1+∠AOC=90°,又∵∠1=∠2,∴∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°,∴ON⊥CD．(2)∵∠1=∠BOC,∴,解得：,∴．【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识,正确把握垂直的定义是解题关键.12．如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,∠EOC＝35°．求∠BOD的度数．【答案】55°【分析】先根据垂线的定义求出∠AOE=90°,则∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°,再根据对顶角相等即可得到∠BOD=∠AOC=55°．【详解】解：∵EO⊥AB,17

11《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）∴∠AOE=90°,∵∠EOC=35°,∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°,∴∠BOD=∠AOC=55°．【点睛】本题主要考查了垂线的定义,几何中角度的计算,对顶角相等,熟知垂线的定义和对顶角相等是解题的关键．13．如图,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度数．(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°(2),理由见解析【分析】(1)设∠1=x°,则∠2=4x°,求出,,根据∠BOC+∠BOD=180°,求出x=18,代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．(2)根据(1)的结论得出,即可求解．(1)解：设∠1=x°,则∠2=4x°,∵OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∴,∵∠BOC+∠BOD=180°,∴8x+2x=180,∴x=18,∴∠AOC=∠DOB=2x=36°,∠1=18°,∠2=72°,∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．17

12《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(2)由(1)可得∠1=18°,∠2=72°,∴,∴．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算,角平分线的定义,数形结合是解题的关键．14．如图,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短,点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解;如图所示：连接AB,是两点之间线段最短;作BC垂直于河岸,是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短,点到直线的距离垂线段最短,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF⊥CD于点O．(1)若∠BOF＝68°30′,求∠AOE的度数;(2)若∠AOD：∠AOE＝1：4,求∠BOF的度数．17

13《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）【答案】(1)79°15′;(2)70°【分析】(1)由OF⊥CD可得∠DOF=90°,则∠BOD=158°30′,由对顶角相等,可得∠AOC的度数,再根据角平分线的性质可的∠AOE的度数;(2)设∠AOD=α,则∠AOE=4α,∠AOC=8α,由平角的定义可得等式α+8α=180°,求出α的值,再求出∠BOF的度数即可．【详解】解：(1)∵OF⊥CD,∴∠DOF=90°,∵∠BOF=68°30′,∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=158°30′,∴∠AOC=∠BOD=158°30′,∵OE平分∠AOC,∴∠AOE=∠AOC=×158°30′=79°15′;(2)∵∠AOD：∠AOE=1：4,设∠AOD=α,∴∠AOE=4α,∵OE平分∠AOC,∴∠AOC=2∠AOE=8α,∴α+8α=180°,∴α=20°,∴∠AOD=20°,∴∠BOC=∠AOD=20°,∵OF⊥CD,∴∠COF=90°,∴∠BOF=90°-∠BOC=70°．【点睛】本题主要考查相交线的相关知识,涉及垂直的定义,角平分线的性质,对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．16．如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB于点O．17

14《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(1)若∠1＝∠2,求∠NOC的度数;(2)若∠BOC＝4∠1,求∠AOC的度数．【答案】(1)∠NOC＝90°;(2)∠AOC＝60°．【分析】(1)根据垂直的定义计算即可;(2)根据互余的性质和已知等量关系求解即可;【详解】(1)∵OM⊥AB于点O,∴∠AOM＝∠BOM＝90°,∵∠1+∠AOC＝90°,∵∠2＝∠1,∴∠2+∠AOC＝90°,∴∠NOC＝90°;(2)∵OM⊥AB于点O,∴∠AOM＝∠BOM＝90°,∵∠BOC＝4∠1,∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝90°,∴∠1＝30°,∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．【点睛】本题主要考查了与垂直有关的角度求解,准确计算是解题的关键．17．作图,如图已知三角形ABC内一点P(1)过P点作线段EF∥AB,分别交BC,AC于点E,F(2)过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【答案】见解析.【详解】试题分析：(1)根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可;(2)利用直角三角板,一条直角边与BC重合,沿BC平移,使另一条直角边过点P画垂线即可．(1)如图,EF即为所求．17

15《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）(2)如图,PD即为所求．考点：作图—基本作图．17

16《由垂直求角》专题练习：重点题型（解析版）17