高考数学全国卷(理科)及其参考答案

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1、1980年高考数学全国卷（理科）及其参考答案一．（本题满分6分）将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x2-3y2).2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x+y)(x-y).3.x5y-9xy5=xy(x+yi)(x-yi)(x+y)(x-y).二．（本题满6分）O33312O1O212半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证：设⊙O1⊙O2⊙O3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3

2、=1+3=4，则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理，△O1O2O3为直角三角形三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点YA(0,)EDB(b,0)OC(c,0)X证：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有>0,b<0,c>07AB的方程为，其斜率为AC的方程为，其斜率为高线CE的方程为高线BD的方程为解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上因此，

3、三条高线交于一点四．（本题满分10分）证明对数换底公式：解：见课本五．（本题满分10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于ABPNMBAL证：用反证法假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设矛盾，所以平面N与平面M相交设平面N与平面M的交线为L∵PA⊥平面M，∴PA⊥L又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L7∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB六．（本题满分12分）设三角函数其中k≠01．写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;2．试求

4、最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m解：1.M=1，m=-1，2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f(x)的周期≤1即：可见，k=32就是这样的最小正整数七．（本题满分14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）CADB解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x因此，△ACD的面积为，△CBD的面积为，7

5、△ABC的面积为，依题意，∵取负号不合题意，∴取正号，得又依直角三角形的性质，有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x)∴AC2=x2∴AC=x=DB=在直角三角形ABC中，故八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：并讨论α为何值时等号成立解：即证：两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα.而2sinαsin2α=4sinαcos2α=4(1-cos2α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα所以问题又化为证明不等式(1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤07（1+cosα)≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当

6、cosα-=0即α=600九．（本题满分18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P（x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）解：设圆的方程为（x-k)2+y2=1再设圆与抛物线的一个交点为P（x0,y0)在P点圆半径的斜率=.Yy=2x2P(x0,y0)·K(K,0)OX在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切因P（x0,y0)是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0,(2)(x0-k)2+y02=1.(3)由（1）

7、、（2）式消去y0,得x0=-k,7将（2）代入（3），得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入，得4k2-2k-1=0，∴由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x0≤0故根号前应取负号，即故所求圆的方程为由对称性，圆与抛物线的另一交点（x0,-y0)处的切线也互相垂直附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，