2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.1函数的平均变化率学案含解析新人教B版选择性必修第三册20210326262.doc

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1、高考第六章导数及其应用6.1　导数6.1.1　函数的平均变化率必备知识·素养奠基1.函数的平均变化率(1)定义:一般地,若函数y=f的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f,y2=f,则①称Δx=x2-x1为自变量的改变量;②称Δy=y2-y1(或Δf=f-f)为相应的因变量的改变量;③称=(或=)为函数y=f在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1x2时指的是.(2)实际意义:在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位

2、,因变量平均将增加个单位.(3)几何意义:函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变换趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.-9-/9高考Δx一定是正的吗?如果用x1和Δx表示x2,那么平均变化率可以怎样表示?提示:不一定,当x1>x2时是小于0的;x2=x1+Δx,平均变化率表示为=.2.平均速度与平均变化率如果物体运动的位移xm与时间ts的关系为x=h,则物体在(t1

3、t2

4、度是(　　)A.==B.=-9-/9高考C.=D.=【解析】选A.由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以==.3.已知函数y=f(x)=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________. 【解析】Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.答案:关键能力·素养形成类型一函数的平均变化率(数学抽象、数学运算)【典例】1.已知函数f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(　　)A.0.40　　B.0.41　C.0.43　D.0.44

5、2.求函数f(x)=3x2+2在下列区间上的平均变化率.(1)[x0,x0+Δx];(2)以x0=2,Δx=0.3为端点的闭区间.3.求y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx=时平均变化率的值.【解析】1.选B.因为x=2,Δx=0.1,所以Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.2.(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为===6x0+3Δx.(2)当x0=2,Δx=0

6、.3时,函数y=3x2+2在区间[2,2.3]上的平均变化率为6×2+3×0.3=12.9.-9-/9高考3.函数f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为===4x0+2Δx.当x0=1,Δx=时,平均变化率为4×1+2×=5.【类题·通】求平均变化率的三步骤(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1.(3)得平均变化率=.类型二物体的平均速度(数学抽象、数学运算)【典例】已知物体运动位移xcm是时间ts的函数,而且t=0.1时,x=1.

7、2;t=0.6时,x=2.2.(1)求这个物体在时间段内的平均速度;(2)估计t=0.3时物体的位移.【思维·引】(1)利用位移除以时间求平均速度;(2)将物体的运动看作直线运动,利用直线方程估计物体的位移.【解析】(1)所求的平均速度为=2(cm/s);(2)将x在上的图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为2,且直线过点,因此,x与t的关系可以近似地表示为x-1.2=2.在上式中令t=0.3,可求得x=1.6cm.即物体的位移可以估计为1.6cm.【类题·通】-9-/9高考关于物体的平均速度(1)如果已知

8、物体运动的轨迹方程,则可以转化为计算函数的平均变化率来求物体运动的平均速度;(2)如果物体的运动轨迹未知,只知道在某些时刻的位移,则可以“以直代曲”,将运动轨迹近似看成直线解决相关的问题.【习练·破】已知物体运动位移xcm是时间ts的函数,而且t=0.1时,x=4.7;t=0.2时x=4.4.(1)求这个物体在时间段内的平均速度;(2)估计t=0.05时物体的位移.【解析】(1)所求的