广东大学生数学竞赛经管类.doc

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1、第二届广东省大学生数学竞赛（经管类）一、计算题（每小题5分，共40分）号cot2x1）limcosx．位x0座lncosx解：原式limecot2xlncosxlimetan2x2分x0x0lncxoslim2线ex0tanx因为limlncosxlim3分tanx1x0tan2xxcot2x02tanxsec2x21所以limcosxe25分x0场考1）设函数y1x23x，求yn．2解：因为y11113分x23x2)x1x2x1x2题ynnn1n1所以1答封不15内3）计算x1x名线n!x1x25

2、分3x5cosx3dx．姓封解：用换元法，设tx3密22(原式t2tt2costdx3分2tt224costdt05分4）已知x0时，4xsin4x与xk是同阶无穷小，求k．解：因为lim4xsin4xlim44cos4x224xlim3分x0xk所以k3密x0kxk1x0kxk15分校学5）设曲线C由方程xyey切线方程．解：方程两边关于x求导得y4arctanx40确定，求曲线C在点1,ln2处的xyylnxeyyx03分1x2当x1,yln2时，yx1ln214分2所求切线方程为yl

3、n2ln21x15分26）计算解：方法一、1cos3xdx．cosx原式2dx1sin2x1sinx1221sinxsinxdx2分令usinx，则上式1du1121du221u1u41u21u1u1u21111122du4分41u1u1u1u111u1lnC41u41u4u1111sixn1lnC5分41sinx41sinx4sinx1方法二、原式令u1tan2xtanx，则tanxdx2分1u2上式1u2dudu1u2而u1u21u2u12u221u21u21112u2122上式21u21du

4、1u2lnu21uu1uC4分方法三、lntaxnsxecsxecxtanC5分2原式secxtanxsecxtan2xdxsecxtanxsec3xsecxdx3分整理可得原式1secxtanx1secxdx221secxtanx1lnsecxtanxC5分226）设曲线yfx与曲线ylnx在xe处相切，求f2limexf2ex．解：由已知可得fe1,fex0x1eexfexxfexf2分f2exf2exflimlimfexfexx0xx02felimfexfee4分x0xx44fefe5分e3

5、n2nn7）求级数n1nn2x的收敛域．3n12n12n2n解：因为lim1n1nn2lim33n3n12分n32nn2nn12n3n11nn所以此级数收敛半径为13当x1时，3n2nxnn121发散223n11nn3n2nn1n3nnnnn121当x时，3n12xnnn1n3n2收敛4分所求收敛域为[11,)。5分33二、（本题13分）证明不等式1n31n11n11n2,3,4nn111111nn1n1n11n11111111证明：nn1nnnnnnn考虑函数fxx1xx1xx0,

6、14分22x1xlnxx2因为fxx1x，考虑函数gx12x1xlnx1xgx2lnx1x11lnx,gx11xxx2x当x0,1时，gx0，且g10，所以当x0,1时，gx0，又因为g10所以当x0,1时，gx0，由此可得当x0,1时，fx是减函数。9分n121数列1n10n1是递增数列，由于n1时，1211212，且nn224xxlnxlimlnxx011limxx01limx1xlime1x1exe2limxxex01x0x01n所以31n11n11n2,3,

7、。13分3nn三、（本题10分）设函数fx在a,b上可导，在a,b上连续，且fafb0，证明：至少存在一点a,b使得ff证明：考虑函数Fxexfx，6分由已知可得Fx在a,b上可导，在a,b上连续，且FaFb0，利用罗尔中值定理，至少存在一点a,b使得F0fefe0ff10分四、（本题12分）设fx,gx在0,1是连续的，1212121）证明：exgxdxfxdxgxdx；000102）若fxdx1ln2，证明：10xf2xdxln2．证明：1）设t为任意实数，因为fxtgx20，所以12fxtgx

8、dx01f2xdx2t1fxgxdxt21g2xdx03分0000这就说明关于t的一元二次方程1f2xdx2t1fxgxdxt21g2xdx0的判别式小于或等于零，即有0001211fxgxdxf2xdxg2xdx5分0002）利用1）中结论证明122