垂直的性质定理答案.docx

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1、6．2垂直关系的性质●学习目标1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)．2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)．3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化(难点).一．课前自主学习：（独学）认真预习课本39—41页，完成下列问题文字语言图形语言符号语言直线与平如果两条直线面同时垂直于一垂个平面，那么直这两条直线平的行性质定理平面与如果两个平面平互相垂直，那面么在一个平面垂内垂直于它们直交线的直线垂的直于另一个平性面质定理二．课堂互动探究（群学）1.线面垂直性质定理的应用例1：如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1

2、D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.【思路探究】证明BD1和EF分别垂直于同一个平面即可．【自主解答】如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD，∴BD⊥AC.11同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.2.面面垂直性质定理的应用例2：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，求证：PA⊥平面ABC.【思路探究】欲证线面

3、垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．【自主解答】如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA平面PAC，∴DF⊥PA，同理DG⊥PA，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴PA⊥平面ABC.三．巩固提高1.如图1－6－17所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.【证明】如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面A

4、BCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△PAD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.2.如图1－6－19，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.【证明】设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝C

5、D＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．【证明】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A

6、1O＝OD，A1N＝NC.11∴ON//2CD//2AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.11∵ON＝2AB，∴AM＝2AB，∴M是AB的中点．4．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.【证明】(1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，

7、∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD平面PAD，PG平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG平面PBG，PG平面PBG，且BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，AD⊥SB于D，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.【自主解答】如图，在平面SAB内，AD⊥SB于D，由于平面SAB⊥平面SB