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1、边城高级中学张秀洲2.2.1综合法和分析法1、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;2、了解分析法和综合法的思考过程、特点．自学教材P85—P89解决下列问题一、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.二、《教材》89练习.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:一、综合法(顺推证法或由因导果法)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”…练习
2、.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和,其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此,只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式,就能使不等式左、右两端具有相同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.证明:∵b2+c2≥2bc,a>0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b>0∴
3、b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…例：在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C.①因为A，B，C为△ABC的内角,所以A+B+C=180°.②③由a，b，c成等比数列，有④由①②，得①②，得由①②，得注：解决数学问题时，学会语言转换；
4、还要细致，找出隐含条件。符号语言图形语言文字语言由余弦定理及③，可得再由④，得即因此a=c.从而A=C.⑤所以△ABC为等边三角形.由②③⑤,得练习：证明不等式：(a>0,b>0).证法1:因为:所以所以所以成立证法2:要证只需证:只需证:只需证:因为:成立所以成立综合法分析法要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这类证法的特点是:这就是另一种证明方法——分析法.特点：执果索因.一般
5、地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显成立的结论…分析从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.证明：只需证展开得只需证因为和都是正数，所以要证只需证21<25.因为21<25成立，所以成立.在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证
6、出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.反思二、教材P89练习.分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切。证明：③由于上式与③相同，于是问题得证.1、综合法：∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1∴(2sinα)2-2sin2β＝1∴4sin2α-2sin2β＝1∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β即：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-s
7、in2βcos2β+sin2β＝（二倍角公式）2、分析法：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝要证：只要证：2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β只要证：只要证：4sin2α-2sin2β＝1(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1只要证：这是三角函数的基本性质∴证明：∵a，b，c为不相等正数，且abc=1,提示此题采用综合法.1、已知a，b，c为不相等正数，且abc=1,求证：练一练2、如图,SA⊥平面ABC,AB
8、⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SC.FESCBA提示此题采用分析法.证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立FESCBA提炼精华你学会了吗?通过这节课的学习，你有什么收获?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？综合法分析法特点
