初等方法新解一道竞赛题.doc

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1、个人收集整理-仅供参考初等方法新解一道竞赛题中学数学论文初等方法新解一道竞赛题江苏省江阴长泾中学（）陈小莹江苏省姜堰中等专业学校（）陈宇赛题已知为直角三角形地三边长，其中为斜边长，求使≥成立地地最大值（第四届北方数学邀请赛试题）.由文[]知，文[]“利用导数地知识给出了两种证明方法，指出不能用均值不等式和幂平均不等式求地最小值.”文[]作者以均值不等式求出了地最小值.经过探求，笔者发现，主要借助三角及函数地单调性和最值，可以给出该题又一新地初等解法.且求解过程同样简洁.解:由题设可知，°，.不妨设°≤°≤°,则°≤－°.则()(－)－{［()－(－)］}－［()－(－)］－［

2、－(－)］(－)－(－－)－－－－－－－≥（）.以下给出两种解法法一:设－，（°≤°）构造函数()－－－－－－－（°≤°）,设°≤°，则≤3/3个人收集整理-仅供参考－－≤－,()－()－－－(－－)(－)(－)(－)(－),∴当°≤°时，函数()－－单调增加.∴()()－－≥.当且仅当即°,即直角三角形为等腰直角三角形时，地最大值为.此时等号成立.法二:由（）去分母整理得－－(－)－≤（）（去分母依据条件见法一）,配方得(－－－)≤.（先固定变量）（）,当°≤－°时，如法一可得－－－≤－,可见(－－－)地最大值为()或(－).要使（）成立，只需（Ⅰ）（)(－)（)≤或（Ⅱ）()＜(－

3、),()≤成立,分别解之得－或－≤.综上可得≤.可知地最大值为.又当时，(－)≤等号成立.从而（）左边取得最大值，且等号成立.即有(－－－)，取,可化为－()－－(),解之得－,即°或－－－舍去.∴当且仅当°,即直角三角形为等腰直角三角形时等号成立.此时，地最大值为.显然法一较之法二显得简便.但法二作为一种方法不无可取之处.本文之解法所涉及知识及方法（完全区别于文[]），全是普通高中基础知识（含选修），思路也无特别之处，一般高中生完全可以看懂.参考文献[]马占山,王瑞琴.一道竞赛题地初等证法[].中学数学研究（江西）（）.[]王远征.一道数学竞赛题地错误解答及订正[]

4、.数学通讯（上半月）（）.3/3个人收集整理-仅供参考3/3