基本不等式教学设计 北师大版(优秀教案).doc

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1、教学设计．　基本不等式教学分析本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景．本节一开始，首先从代数角度导出基本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了基本不等式的几何解释，并进一步探究交流了基本不等式的其他解释．整小节的中心在于学生的探究，淡化不等式的证明，加强基本不等式与几何、日常生活的联系，特别是注重了基本不等式的几何背景．由于前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法，根据学生的认知规律及特点，大部分学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，因此教学时教师可放手大

2、胆地让学生进行合作探究．三维目标．通过本节探究，使学生学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．．通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学

3、重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式≥的多种解释．教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释．课时安排课时导入新课(直接导入)在代数中，有许多有趣的不等式，例如对任意实数，，(－)≥总是成立的，即－＋≥，所以≥，当且仅当＝时，等号成立，并进一步得≥(＞，＞)，这是非常重要的一个不等式．本节我们对其作进一步探究，由此展开新课．推进新课①阅读课本内容，你能得出≥(＞，＞)．当且仅当＝时，等号成立吗？②你能证明这个不等式吗？③你能根据初中学过的几何知识，尝试给出基本不等式的几何解释

4、吗？④你能对基本不等式给出另外的解释吗？活动：对于任意实数，，(－)≥总是成立的，即－＋≥，所以≥，当且仅当＝时，等号成立．设＝，＝，则由这个不等式可得出以下结论：如果，都是正数，那么≥，当且仅当＝时，等号成立．这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式．它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．请学生注意公式的结构形式．成立的条件是，为正实数，等号成立的条件是当且

5、仅当，相等．下面我们一起探究不等式≥(，＞)的证明过程，可用分析法证明如下：要证≥，只要证＋≥，即证＋－≥，只要证(－)≥.显然上式是成立的．所以不等式得证．接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究．如图，是圆的直径，点是上一点，＝，＝.过点作垂直于的弦′，连接，.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？图(本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形

6、．容易证明△∽△.所以可得＝.或由射影定理也可得到＝.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径长，即小于或等于圆的半径，用不等式表示为≥.显然，上述不等式当且仅当点与圆心重合，即当＝时，等号成立．不等式≥(＞，＞)是一个重要不等式，它在求函数最值、解决实际问题中有着广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．教师引导学生对基本不等式作进一步的交流探究：如图，在⊙上半圆中，设＝，＝，⊥交上半圆于，请你利用≥得出一个关于，的不等式，将这个不等式与基本不等式和例中的不

7、等式进行比较．图对于基本不等式，用文字语言可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．但从数列角度看，可把看作是正数，的等差中项，看作是正数，的正的等比中项，基本不等式又可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．更进一步地，我们有以下的探究：对于正数，的几何平均数，我们可以有以下两种解释：某工厂第一年的产值为万元，第二年的产值为第一年产值的倍，第三年的产值为第二年产值的倍．设工厂从第一年到第三年，每年产值平均增长倍，那么满足：××＝，即＝.一般地，设某工厂第一年的产值为，第二

8、年的产值为第一年的倍(即)；第三年产值为第二年的倍(即)．如果该工厂从第一年到第三年，每年产值平均增长倍，那么满足＝，即＝.另外，我们可以把两个正数，看成是两条线段的长度，并以它们为边作一长方形，如图()；如果我们想作一正方形，使它的面积等于这个长方形的面积，那么它的边长就是和的几何平均数，如图()．图讨论结果：①～④略．例已知，都是正数，求证：()＋≥；()(＋)(＋)(＋)≥.活动：教师点拨学生注意，在运用定理≥时，条件，均为正数．证明：()∵，都是正数，∴＞，＞.∴＋≥＝，即