高职高等数学Ch1函数与极限.doc

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1、高职高等数学-Ch1函数与极限————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章函数与极限§1-1函数与极限一、函数1.函数的定义设x，y是两个变量，D是给定的一个集合，若对于D中的每一个x值，由某一法则f，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为，其中x称为自变量，y称为因变量，x的取值范围D称为定义域，y的取值范围称为值域。2.定义域数轴上使函数有意义的一切点的集合。实际问题中要求根据实际意义具体确

2、定。3.定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1：求的定义域解：定义域为例2：求的定义域解：且且定义域为4.函数的表示法（1）表格法将自变量的值与对应因变量的值列成表的方法。（2）图像法在坐标系中用图像来表示函数关系的方法。（3）解析式法将自变量和因变量之间的关系用数学公式表示的方法。解析式分为三类：（a）显函数函数y由x的解析式直接表示出来，如（b）隐函数函数自变量x和因变量y由确定，如（c）分段函数函数在其定义域不同范围内有不同表达式如符号函数或二、反

3、函数1.定义设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。由于习惯通常写成。例：求的反函数解：即，其中2.性质（1）互为反函数的图像关于对称（2）（3）（4）三、初等函数1.基本初等函数常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这6种函数称为基本初等函数。（1）常量函数为常数（为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-1所示。图1-1（2）幂函数定义域和值域

4、依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。常见的幂函数的图形如图1-2所示。图1-2（3）指数函数定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-3所示。图1-3（4）对数函数定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-4。特殊底数的对数函数，。图1-4对数函数性质：（5）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-5。图1-5三角函数常用公式：三角函数标准形式：，其中为振幅、为频率、为横向平移、为纵向平移。（6）反三角

5、函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图形如图1-6所示。图1-62.复合函数定义：若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例1：可复合成注：就不能复合。例2：可以看作是复合成的复合函数。例3：分析的复合结构解：例4：分析的复合结构解：3.初等函数通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数

6、，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。四、函数的性质1.单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为单调增加（或单调减少）的函数。例如，函数在区间内是单调减少的；在区间内是单调增加的。函数在区间内是单调增加的。2.奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上是偶函数。而在定义区间上是奇函数。3.周期性对于函数，如果

7、存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。通常周期函数的周期是指最小的正周期。例如，都是以为周期的函数，而、则是以为周期的函数。4.有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。例如，。如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界

8、又有下界。§1-2极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内