高代论文 矩阵的特征值与特征向量.doc

《高代论文 矩阵的特征值与特征向量.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、矩阵的特征值与特征向量摘要：矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等代数中经常碰到的问题。特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础。本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法。再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例. 关键词：矩阵特征值特征向量 

2、一、特征值和特征向量的关系 1.1特征值与特征向量的定义定义1 设是数域P上线性空间V的一个线性变换．如果对于数域P中的一个数，存在V中的非零向量ξ，使得（ξ）=ξ（1）那么就叫做的一个特征值，而ξ称为的属于特征值的一个特征向量。（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式即                         (3)上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．=显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在

3、复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．1.2特征值与特征向量的性质性质1设是矩阵的属于特征值的一个特征向量，对任意的非零常数，则也是矩阵的属于特征值的特征向量。性质2设都是矩阵的属于属于特征值的特征向量，则当时，也是矩阵的属于特征值的特征向量。注.首先特征向量要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，

4、实对称矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。二、特征值与特征向量的计算方法2.1求解步骤第一步求矩阵的全部特征值，即求特征方程的全部跟；第二步求的特征向量。对于每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，那么就是的属于的全部特征向量，其中为不全为零的任意数。2.2计算方法设是数域P上的阶矩阵，如果是的特征值，而ξ称为的属于特征值的特征向量，则（ξ）=ξ，即又因为，所以是齐次线性方程组的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式等于零，即。求的特征值就是求特征方程

5、的根。若特征方程在数域上没有根，则没有特征值；若特征方程在数域上有根，则就有特征值；特征方程的全部根就是其全部特征值。求的属于特征值的全部特征向量，就是求齐次线性方程组的全部非零解。二、经典例题及解析例1计算3阶矩阵的全部特征值与特征向量。解：第一步：计算矩阵的特征多项式第二步：求出特征多项式的全部根，即的全部特征值令，解之得，为的全部特征值。第三步：求出的全部特征向量对求相应线性方程组的一个基础解系。化简求得此方程组的一个基础解系属于的全部特征向量为（k1为不等于0的实数）。同理对，求相应方程组的一个基础解系：，属于的

6、全部特征向量为(k2,k3为不全等于0的实数）。所以的全部特征向量为，这里（为实数，是不全为零的实数）。例2求矩阵的特征值和特征向量。解：的特征多项式为         ==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由       ，得基础解系为：   因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由        ，        得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：