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1、《数学教学通讯》2005年12月(上半月)(总第229期)重庆·45·再谈圆锥曲线中的相交弦和切割线定理(重庆市江北中学400714)邬开友李迎新文[1]将圆的相交弦定理和切割线定理推1122a由文[4]的结论有+==2,FMFNepb广到了椭圆,文[2]进一步推广到双曲线,但未能推广到抛物线,文[3]给出了形式相似的三所以MN=FM+FN=2a2FMõFN,将º代b类圆锥曲线的相交弦与切割线定理,但形式繁22a2ab入得MN=2FMõFN=2222,杂.本文给出圆锥曲线的统一的形式简洁的相bbcosA+asinA2交弦和切割线定
2、理.2ab即d1=2222,同理d2=bcosA+asinA定理1过点P的直线l,m分别交圆锥曲22abd1线E于点A、B和C、D,d1、d2为与l,m分别平2222,所以=bcosB+asinBd2PAõPBd12222行的焦点弦长,则=.bcosB+asinBPAõPBd1PCõPDd22222,所以=.bcosA+asinBPCõPDd2下面仅证明圆锥曲线为椭圆时定理成立,当点P在圆锥曲线外(不含焦点的部分),其他情况证明类似.且C、D重合为点T时,即得圆锥曲线的切割线证明:设点P(x0,y0),直线l,m的倾斜角分22定理
3、.xy别为A、B,椭圆E为2+2=1(a>b>0),定理2:点P在圆锥曲线外(不含焦点的部ab22分),过点P的直线l与圆锥曲线E交于点A、其焦点不妨为F(c,0),(c=a-b),与l平B,过点P的直线m与E切于点T,d1、d2为与l,行的焦点弦为MN,则可设直线l:x=x0+tcosAx2y2m分别平行的焦点弦长,则PAõPBd1.2=(t为参数),代入椭圆2+2PTd2y=y0+tsinAab类似地,还可得=1得定理3点P在圆锥曲线外(不含焦点的222222(bcosA+asinA)õt+2(bx0cosA+部分),过点P的
4、直线l,m与圆锥曲线E分别切2222222ay0sinA)õt+bx0+ay0-ab=0,于点A和B,d1,d2为与l,m分别平行的焦点弦设点A、B对应的参数t分别为t1,t2,则2dPA1222222长,则2=.bx0+ay0-abPBd2t1t2=2222,即bcosA+asinA222222参考文献ûbx0+ay0-abûPAõPB=2222¹bcosA+asinA1陆逢波.圆的重要定理在椭圆上的推广.数学通讯,222222ûbx0+ay0-abû同理有PCõPD=2222,2004(3)bcosB+asinB22222李勤
5、俭.圆的重要定理在椭圆和双曲线上的推广.ûb+c-abûFMõFN=2222=数学通讯,2004(19)bcosA+asinA43邬开友,李迎新.圆锥曲线的相交弦与切割线定理.b2222ºbcosA+asinA江西:中学数学研究,2005(3)22224张小斌.谈谈圆锥曲线的几个定值.数学通报,PAõPBbcosB+asinB所以=2222PCõPDbcosA+asinB2002(7)
