同济版大一高数第十一章习题课课件.ppt

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1、高等数学第二十七讲1习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章2（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容3曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分4曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算(与方向有关)5与路径无关的四个等价命题条件等价命题6曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算与侧无关与侧有关7定积分曲线积分重积分曲面积分计算

2、计算计算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系8积分概念的联系定积分二重积分9曲面积分三重积分曲线积分10计算上的联系11其中12理论上的联系1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式133.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式14Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广15梯度通量旋度环流量散度（三）场论初步16一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长

3、)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终练习题:P184题3(1),(3),(6)17(1)利用对称性及形心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(5)利用斯托克斯公式;(4)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧18例1计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则19例2.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用形心公式知(

4、的形心在原点)20闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式思路:21例3.解22例4.计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:思考：若用格林公式加辅助线的方法如何计算？23例5.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.24(利用格林公式)思考:(2)若L同例5,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:其中L是沿逆时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周.例5.计算25思考题解答:(1)(2)26例6.计算其中L是沿曲线从A(0,

5、1)到B(1,0)的一段弧.解:27例7.计算其中L是以点(1,0)为中心,R(R>1)为半径的圆周,取逆时针方向.2000.考研解:在L所围域内作足够小的椭圆l如图若L为顺时针方向，则I=28例8设积分与路径无关,其中有一阶连续导数.则提示:因积分与路径无关,故由此得原式29二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面302.基

6、本技巧(1)利用对称性及质心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化31例1.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用形心公式32例2计算其中是曲面的上侧。解取的下侧。由高斯公式33例3.计算曲面积分其中,解:思考:本题改为椭球面时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.34其中L为上半圆周解:沿逆时针方向.例6计算35例7.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设为简单闭曲面,a为任意固定向量

7、,n为的36在此过程中受力例9.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)的大小运动到点B(3,4),等于点M到原点的距离,求变力解:由图知故所求功为作用,y轴正向夹角为锐角,其方向垂直于OM,且与对质点M所作的功.(考研1990)37例11.设是一光滑闭曲面,所围立体的体积是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,为V,38例12.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.由斯托

8、克斯公式39D的形心40(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是备用题地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25R,卫星绕地球一周的时间为T,试求(2)在解:如图建立坐标系.的时间内,卫星监视的地球表面积是多少?多少?41(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为(2)在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0为盲区面积