2020届新高考数学二轮微专题突破18 多元问题的处理（解析版）.docx

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1、专题18多元问题的处理一、题型选讲题型一、消元法多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．【答案】8　由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2＋2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号

2、成立，所以a＋b＋c的最小值为8.1.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是：参数是否为正；二定是：和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是：最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立)．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x

3、3

4、解集，确定a<0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值．12/12依题意得a<0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即则所以＝＝＝(－24a)＋≥2＝4，当且仅当144a2＝5，即a＝－时取等号，所以所求最小值为4.题型二、奇次化研究双变元分式函数的最值问题通常可以通过变形，将两个变元合并为一个变元，转化为单变元的函数来研究·本质上是求二次分式在特定区间上的最值(值域)问题．一般地，先化二次分式＝＋常数．以下分两类情况：①分母不能因式分解时，求导

5、数或用基本不等式解决，②分母能因式分解时，继续化简为＋＋常数．再求导数例3、(2017南京三模）已知x，y为正实数，则＋的最大值为．【答案】思路分析：所研究的代数式涉及到两个变量，为此将分式的分子、分母同除以，将合并为来达到“消元”的目的，这样就转化为只含一个变量的函数的最值问题。【解析】令，则，当且仅当，即，也即时等号成立。例4、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则的最小值为________．12/12【答案】　【解析】注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，

6、为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．解析(化齐次式法)：因为a＋b＝2，所以＝＝＋＝＋，令u＝2－，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，故00，此时>；当u<0时，u＋－6＝－－6≤－6－2，此时≥＋＝，当且仅当u＝－时等号成立．因此的最小值为.题型三换元法与主元法换元法是解决不等式中最常用到的一种方法，若不等

7、式中出现多元的问题可以运用整体的思想看成一个主元，然后再运用换元法解决。例5、(2017南京三模）已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为．【答案】[27，30]12/12【解析】本题所给条件为关于的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为的二元问题，再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围.由题意可得：，设，则，所求可转化为：.又可化为，可行域如下图所示，当直线与曲线相切时有最小值，当直线经过点A时有最大值.令，解得，即.又，所以，解得，,即切点坐标为,所以，即的取

8、值范围为[27，30].例6、(2018镇江期末）已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为________．【答案】.　12/12【解析】将＋通分，变形为关于(a＋b)和ab的式子，将ab作为一个变元，用导数作为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，但要先求出ab的取值范围．解法(ab作为一个变元)ab≤＝4，＋＝＝＝.设t＝9－ab≥5，则＝≤＝，当且仅当t2＝80时等号成立，所以，＋的最大值为.题型四、求导法例7、(2019扬州期末）若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且lnx－ln

9、z＝，则的最小值为_________．【答案】.e2　【解析】由3y2＋3z2≤10yz，得(3y－z)(y－3z)≤0，解得≤y≤3z，即≤≤3.由lnx－lnz＝，得lnx－lny＋lny－lnz＝，即ln＝－ln＋.令＝t，t∈]，得ln＝－lnt＋et＝f(t)，则f′(t)＝－＋e＝0，得t＝.当t∈时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈时，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t＝时，f(t)有唯一的极小