2020年高三数学大串讲第07讲（三次函数的导数问题）（原卷版）.doc

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1、第07讲（三次函数的导数问题）【目标导航】运用三次函数的图像研究零点问题,三次函数的单调性问题,三次函数的极值与最值问题。【例题导读】例1、若x3－x2＋ax－a＝0只有一个实数根，求实数a的取值范围．例2、已知函数f(x)＝x3－x2，g(x)＝－kx，若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．例3、设函数f(x)＝x3－x2＋1，其中a＞0，若过点(0,2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求实数a的取值范围．例4、已知函数f(x)＝x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为

2、1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝

3、f(x)－(x＋a)

4、(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．例5、已知函数f(x)＝其中常数a∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(－x)＋f(x)＝ex－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a的取值范围；例6、已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；

5、若不存在，请说明理由；例7、已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．例8、已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，a∈R.(1)曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；(2)若对于任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；(3)若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a

6、)，m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．【反馈练习】1、若函数f(x)＝x3－2ax2－3x在(－1,1)内有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是________．2、已知函数f(x)＝x4＋x3＋x2(a∈R，a≠0)有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是________．3、若函数f(x)＝x3－(a＋1)x2＋x－(a＞0)在[0,2]上有两个零点，则实数a的取值范围是________．4、设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求实数

7、m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．5、已知函数f(x)＝ax3＋

8、x－a

9、，a∈R.(1)若函数g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；(2)当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值集合．6、已知函数f(x)＝ax3＋bx2－4a(a，b∈R)．(1)当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间；(2)当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值；(3)当

10、a＝0时，若f(x)

11、极值，且函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式；(2)当a>0时，若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<－.