高考数学复习-定积分的概念(2).doc

《高考数学复习-定积分的概念(2).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、定积分的概念编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．【要点梳理】要点一、定积分的定义定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，定积分的相关名称：——叫做积分号，——叫做被积函数，——叫做被积表达式，x——叫做积分变量，a——叫做积

2、分下限，b——叫做积分上限，[a，b]——叫做积分区间。要点诠释：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．(2)定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。（3）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：（4）按定积分的定义，①由连续曲线、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为；②设物体运动的速

3、度v=v（t），则此物体在时间区间[a，b]内运动的距离s为。要点二、定积分的几何意义定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号。要点诠释：（1）当时，积分在几何上表示由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b时，有，如图（a）。（2）当时，由、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分在几何上表示上

4、述曲边梯形面积的相反数。所以，即，如图（b）。（3）当在区间[a，b]上有正有负时，积分在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x轴上方面积取正号，x轴下方面积取负号）。在如右图所示的图象中，定积分。要点三、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1：；性质2：；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。如右图：（其中）。要点诠释：性质1：被积函数常数因子可以提到积分号前。性质2：函数代数和（或差）的定积分等于它们的定积分的代数和（或差）。同时，这个性质可推广到有限多个函数代数和（或差）的情形。性质3：不论a，b，c三点的相互位置如何，恒有。这表明

5、定积分对于积分区间具有可加性。可以用右图直观地表示出来，即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB。【典型例题】类型一、利用定积分求曲边梯形面积例1利用定积分的定义求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3围成的图形的面积。【思路点拨】根据求积分的定义对曲边梯形：①分割；②近似代替；③求和；④取极限。【解析】如图所示。（1）分割。把要求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1，2]等分成n个小区间，，，…，，…，，每个小区间的长度为，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS

6、1，ΔS2，…，ΔSn。（2）近似代替。取各小区间的左端点，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为：（i=1，2，3，…，n）。因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即①。（3）求和。当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S。因此，n→+∞即Δx→0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。因为：。（4）取极限。。【总结升华】（1）根据定义求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③

7、求和；④取极限。（2）求和时首先可提取公因式，再将和式进行处理。（3）从图形上看，当n越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形的面积相差越来越小；当n→+∞时，小矩形组成部分近似于曲边梯形，因此可以将视为直线x=1、x=2、y=0和曲线y=x3围成的图形的面积。举一反三：【变式】求由y=3x、x=0、x=1、y=0围成的图形的面积S。【答案】（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：（i=1，2，…，n）。每个小区间长度为，把梯形分成n个小梯形，其面积记为ΔSi（i=1，2，…，n）。（2）近似代替用小矩形面积近似代替小梯形面积。（i=1，2，…，n）

8、。（3）求