高一数学第8讲：函数的奇偶性学生版——刘勉.docx

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1、第8讲函数的奇偶性1.设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且，则这个函数叫做奇函数。设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且，则这个函数叫做偶函数。如果函数f(x)为奇函数或偶函数，那么，就说函数f(x)具有。2.函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于对称。换而言之，所给函数的定义域若不关于对称，则这个函数必不具有奇偶性。3.如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如

2、果一个函数的图象是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是。如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是。例1判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=；（2）f（x）=。例2函数f（x），x∈R，若对于任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），求证：f（x）为奇函数。例3函数f（x），x∈R，若对于任意实数，，都有f（+）+f（-）=2f（）f（），求证：f（x）为偶函数。例4已知y=f（x）是偶函数，且图象与x轴有

3、四个交点，则方程f（x）=0的所有实根之和是（）A.4B.2C.1D.0例5已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）﹤0，试问F（x）=在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论。例6判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=+；（2）f（x）=

4、x+b

5、-

6、x-b

7、A1.奇函数y=f（x）（x∈R）的图象必过点（）A.（a，f（-a））B.（-a，f（a））C.（-a，-f（a））D.（a，f（））2.下面四个结论，其中正确命题的个数是（）（1）偶函数的图象一定与y轴相交；（2）奇函数

8、的图象一定通过原点；（3）偶函数的图象关于y轴对称；（4）既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3D.43.已知f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=-2x，则在R上f（x）的表达式是（）A.y=x（x-2）B.y=x（

9、x

10、-2）C.y=

11、x

12、（x-2）D.y=

13、x

14、（

15、x

16、-2）4.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意、∈R有f（+）=f（）+f（）+1，则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶

17、函数5.若函数y=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=（）A.-2B.-1C.1D.26.设f（x）是连续的偶函数，且当x﹥0时，f（x）是单调函数，则满足f（x）=f（）的所有x之和为（）A.-3B.3C.-8D.8B1.设函数f（x）=为奇函数，则a=2.在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（）A.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C.在区间[-2，-1

18、]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数3.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）﹤f（）的x取值范围是（）A.（，）B.[，）C.（，）D.[，）4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为（）A.-1B.0C.16D.25.函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数

19、6.判断函数f（x）=的奇偶性。7.判断函数f（x）=的奇偶性。C1.已知f（x）定义在R上，对任意x、y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0，（1）求证：f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数。2.若f（x）是定义在R上的奇函数，当x﹤0时，f（x）=x（1-x），求当x≥0时，函数f（x）的解析式。3.已知f（x）是奇函数，且当x﹥0时，f（x）=x

20、x-2

21、，求x﹤0时，f（x）的表达式。4.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（

22、x）+f（y）。如果x∈R*，f（x）﹤0，并且f（1）=-，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值。5.定义在[-2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1-m）﹤g（m）成立，求m的取值范围。1.已知函数f（x）=a+bx+c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=a+b+cx是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数2.下列函数为偶