非负矩阵Hadamard积的特征值估计-论文.pdf

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1、第24卷第5期四川文理学院学报2o14年9月V0I．24No．5$iehuanIJn

2、vers

3、tyofArtsandScienceJournaISel1．2014非负矩阵Hadamard积的特征值估计焱电穗(阿坝师范高等专科学校数学与财经系，四川阿坝623002)摘婪：非负矩阵的Hadamard积是矩阵分析理论研究中的一个重要问题．对于两个非负矩阵A和B的Hadamard积，给出了谱半径的一个新的上界估计方法．关键词：非负矩阵；Hadamard积；特征值中囱分类号：0151．21文献标志码：A文章编号：1674-5248(2

4、014)O5—0Ol9一o3C似”，用A口B表示A，B的对应元素相乘后组成0引言的×矩阵，即：A~／3=(nb，)，称其为矩阵A，非负矩阵Hadamard积在计算数学、经济学、B的Hadamard积。定义4c对于A一(nf，)∈R，志≥0，称控制论等领域中有着十分广泛的应用．[1]而许多情况下都涉及到非负矩阵Hadamard积特征值矩阵A一(口)∈R似”是矩阵A的是次Had—的估计问题．对于这个问题，许多学者做出了比较amard幂．特别地，对于=()∈R”，是≥0，有好的结果．本文继续对这个问题进行研究，并得到一()∈R”了一

5、个新的上界估计式．数值算例表明，本文所得结果比现有的一些结果更加精确．2p(A~B)的一个新的上界估计1预备知识在本节，将给出两个非负矩阵A和B的JD(AoB)的一个新的上界，为了方便后文的论证，记所有×订阶实(复)矩阵组成的集合为首先给出以下两个引理．R以(C)，N={1，2，3，⋯，}．弓I理1设A=(口f)∈R"×”，B一(6)∈定义1[】设矩阵A一(口∈R”，若对于R”，且D，E∈R”都是对角矩阵，则：任意，∈N，都有af三三=0，则称A是非负矩阵，D(A馏)E一(DAE)~13(DA)。(BE)一记作：A0，而对于非

6、负矩阵A一(n．，)∈R”，(AE)(DB)===A。(DBE)．记N--A—D，其中D=diag(n)，i∈N．令．，A设A一(a)∈R”是一个非负矩阵，则：—DTN；D1=diag((f)，d“1p(A~B)~maxi≠寺{+n+[(一“)定义2[由矩阵A一(““)∈C的所有+4∑龃埔∑吲a业i}-I)．特征值。，。'．．·，A组成的集合称为A的谱，记为a(A)，E口：a(A)==={，=l，2，“·+}，称定理l设A=(n)∈R”，B=(6)∈p(A)一initx{IAl，i∈N}为A的谱半径．R”，A0，B≥0．于是：

7、定义3c设A=(口Ⅱ)∈C，B=(6)∈(1)若对于Vi∈N，都有alib≠o，则：收稿日期：2014-01-08基金项目：阿坝师范高等专科学枝2013年度青年基金项目“矩阵特征值的上下界估计”(ASC13-13)作者简介：黄守德(1986一)。男，四川自赏人．助教，硕士，土要从事数值代数方向研究．192014年第5期黄守德；非负矩阵Hadamard积的特征值估计lD(A。B)≤1{n6+口6+于是A一(口d)一A【，E(ab一口6)+4叩]，nl2U2a1”u”口11其中=n“口b．b~j(ID(-，)P(．，咎’))吉，i

8、，u1U1j∈N盘2IU1a2”u"一口22⋯(2)若存在io≠o，使得口。≠0，a川。≠0“2●●●●●●，或者b。≠0，b如≠0，但对于Vi∈N，有■●●ab一0，则a”1u】a”2u2⋯n，m“””ID(A口B)≤(1D(．，’)』D(-，))}rna~j{(口口)1，(6d)=V-BV(bl。6)享)．bl2261，。(3)若对于任意i∈N，有a=0，b一0，则b111U1p(A~B)(ID(J)P(．，’))}．b2lt，lb26(4)若存在i。~-j。∈N，使得Ⅱ。b。≠0，b22⋯，“2ao』o60≠0，则p(A

9、。B)max{T1，T2，T3}，其中T1smaxbH1lb22I；，b丢{以+以+[(口一“6)+4】7]{}，””由【，，V非奇异，易知A，B，L兀厂都是非奇异T(1D(．，；f)lD(J笞’))i1max{(a口){，(6b)i1)，￡J的，所以根据引理1可得丁。=：=(1D()ID())i1(VU)一(A0B)(L，)一L厂-(ADB)一．证明：当走=1时，上述定理就是文[5]的定理(U_AU)。(BV)一(A)。(B)．3．因此当一l时上述定理成立．因此，p(A~B)一ID(A)。(B)，且A~B一(d)当七一2时，

10、对于一1上述定理显然成立，下nl2b12U22n1”bl”“证当2时结论成立．a11b11U1111a．假定矩阵(A。B)是不可约的，则矩阵A，n21b21“ll口2”b2nU，a22b22B都是不可约的，显然一，也是非负不可约2U2U22的，所以-，，．，均为非负不可约矩阵