浅谈初中数学分类讨论思想.doc

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1、浅谈初中数学分类讨论思想分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。初中数学中的分类讨论思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。下面重点谈一下初中数学中的分类讨论思想及运用这一思想时应该注意的问题。（一）分类讨论遵循的原则。

2、在初中阶段，我们经常用到的有以下四大原则：1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。案例1：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。1案例2：有些同学把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相

3、称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上有理数中还包括既非正又非负的有理数——零。3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。案例3：某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加了田径比赛。如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误，因为必有2人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛。4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情

4、况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。案例4：对于实数，有以下的正确分类：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数；整数包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数；无理数包括正无理数和负无理数。（二）分类讨论的步骤用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；24、归纳并作出结论。（三）常见的需分类讨论的几种情况掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分

5、类讨论。下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：一、给出图形或图形中的某些点、线段、角的位置不确定。给出图形中的线段的位置不确定.例题:1、等腰三角形的两边分别为5、6，则此三角形的周长为（）2、如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰的长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是（）平方厘米。3、半径为5的圆内有两条平行弦分别长6cm和8cm,则两弦之间距离为（）4、已知两圆相交，它们的半径分别为10和17，公共弦长为6，那么这两圆的圆心距为（）5、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米,当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升

6、的高度．6.在△ABC中，AB=2，AC=2，BC边上的高为，求BC的长及∠B的度数给出图形中的点的位置不确定.例题:1.已知数轴上有一点P，它到原点的距离为5，则点P所对应的数（）2.已知在x轴上有一点P，它到原点的距离为5，则点P的坐标为（）3.已知y=3x+b与y轴的交点到原点的距离是5，则此一次函数解析式3（）给出图形中的角的位置不确定.例题：1.已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标是（2，0），点C在函数y=2x+1图像上，且△ABC是直角三角形，求点C的坐标。2.若点A（-2，0）和点B(4,0)在X轴上，点C在y轴上，使△ABC的面积等于9，求点C的

7、坐标。3．A,B是⊙o上两点，且∠AOB=70°,C是⊙o上不与A,B重合的任一点，则∠ACB=-------------------二．给出的条件或结论中的某些数量关系不确定。例题:1.矩形的一个角的平分线分矩形一条边为1厘米和3厘米两部分，这个矩形的面积为（）平方厘米。2.如果等腰三角形腰上的高等于腰的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于（）度。3.一个三角形的三边长分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一边长为6，则这个三