导数在求极限中的应用

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1、引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L’Hospital法则，T

2、aylor展式法及微分中值定理在求极限中的应用。旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。16第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数在其定义域中的一点处极限存在，则称在处可导，称此极限值为在处的导数，记为.显然，在处的导数还有如下的等价定义形式：.下面通过两个

3、例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限.解由于.所以，.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设，试证.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）16（拟合法思想：把要证的极限值写成与此式相似的形式）两式相减，可得因，，所以有，又因，故当，时右端极限为零，原极限获证.1.2L’Hospital法则本节主要总结了L’Hospital法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L’Hospital法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L’Hospi

4、tal法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1.L’Hospital法则L’Hospital法则作为Cauchy中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限.关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可

5、能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为未定型或未定型.16事实上，未定型除以上两种类型外还有，，，，等类型.L’Hospital法则：定理若函数和满足:①；②在点的某空心邻域内可导，且；③(可为有限数或)；则.注：以上结论在，或是（包括和）时也是成立的.1.L’Hospital法则的应用a)L’Hospital法则能处理的基本未定型极限是型或型例1求（为正整数，）.（型）解连续使用L’Hospital法则次.从以上例中可看出L’Hospital法则的实质是对无穷小

6、或无穷大进行降阶.下面再看两个L’Hospital法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求.分析：因为可导从而连续，所以此问题属于型，可用L’Hospital法则求解.解.例3求极限，其中，为闭区间上的连续函数.16解因时，单调递减趋于，使用L’Hospital法则，则.（2）在使用L’Hospital法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设为可导函数，，求极限.解.（此题不能用L’Hospital法则求解，错误出在题目中没有给出

7、在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导）当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L’Hospital法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限、、、、等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成型或型的极限，再使用L’Hospital法则.例5求极限.解.注：这是将型转化成了型，如果选择不当把它化成型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限

8、.解将它改写成就化成了型，于是有.“、、”可以通过如下转化化成型或型：16例7求极限.（型）解因为而所以.例8求极限.（型）解因为当时，所以.（4）利用L’Hospital法则求数列极限——Stolz公式Stolz公式可以说是数列的L’Hospital法则，它对求数列的极限很有用.定理1（型的Stolz公式）设严格递增（即有）且，若①（有限数），则；②为或，结论仍然成立.定理2（型的Stolz公式）设时，严格单调下降趋于零，若，则（其中为有限数，或）.16例7求极限.解由于，所以.