椭圆的几何性质.doc

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1、椭圆的几何性质（1）教学目标（1）掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；（2）掌握椭圆标准方程中、、、的几何意义及相互关系；（3）感受如何运用方程研究曲线的几何性质．教学重点，难点运用方程研究曲线的几何性质．教学过程一．问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中、、的关系2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二．学生活动[来源:学科网]学生通过椭圆的标准方程，以及椭圆的图象尝试观察、、在图象中的体现．三．建构数学１．范围由方程可知，椭圆上点的

2、坐标都适合不等式，即，所以．同理可得．这说明椭圆位于直线和所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于轴、轴、原点对称．从方程上看：（1）把换成方程不变，说明当点在椭圆上时，点关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆的图象关于轴对称；（2）把换成方程不变，所以椭圆的图象关于轴对称；（3）把换成，同时把换成方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称．综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．３．顶点：在方程中，令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点．同理，是椭圆与轴的两个交点．(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，

3、叫做椭圆的顶点；(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；(3)、的几何意义：是长半轴的长，是短半轴的长．４．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．说明：（１）因为所以．（２）越接近，则越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于，越接近于，从而越接近于，这时椭圆就接近于圆；（３）当且仅当时，，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆；（４）试让学生通过探究的大小变化来发现＂扁＂的程度．四．数学运用1．例题：例1．求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标

4、，并用描点法画出这个椭圆．分析：由椭圆的标准方程可知，，则椭圆位于四条直线，所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象．解：根据椭圆的方程，得，，．因此，长轴长，短轴．焦点为和，顶点为，，，．离心率．将方程变形为，根据算出椭圆在第一象限的几个点的坐标：[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学*科*网]说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形

5、；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．例２．求符合下列条件的椭圆标准方程：（１）焦距为，离心率为．（２）焦点与长轴较接近的端点的距离为，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．解：（１）由题意：因为，所以；又因为，所以，所以，焦点在轴上时椭圆标准方程：；焦点在轴上时椭圆标准方程：．（２）由题意：，，，所以解得，，焦点在轴上时椭圆标准方程：；焦点在轴上时椭圆标准方程：．[来源:Zxxk.Com]五．回顾小结：1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2．椭圆标准方

6、程中、、、的几何意义及相互关系．[来源:学科网ZXXK]