刘俊峰2018线性代数考前冲刺学生用.doc

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1、2018线性代数考前冲刺复习要点：一、行列式的计算1、数字型行列式（根据性质）2、抽象型行列式①爪型行列式（例1、例2）对于低阶(4阶(含）以下）行列式，标准爪形利用对角线元素把第一行（列）化为只有一个非零元素，非标准的爪形按照非零行（列)展开;高阶的利用递推法或数学归纳法。②三条对角线型（例3）对于三对角线行列式，通过行列式性质可以利用对角线元素把对角线下方的元素划为0，把行列式化成上三角行列式；或者利用递推和数学归纳法来证明。③每行（列）元素和相等的行列式对于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第1行（列），提取公因子，然后通过第1列（行）把行列式变成下（上

2、）三角行列式进行计算。④范德蒙型行列式通过行列式性质进行变形，把行列式变成范德蒙行列式进行计算。⑤拉普拉斯型行列式（例4）此行列式适合比较多的类型，通过行列互换，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。3、矩阵行列式（例7）结合矩阵的运算，以及初等变换，来求行列式4、已知特征值的矩阵行列式（例6），相似矩阵行列式相等若与相似，则，故可将A的行列式的计算转化为与其相似矩阵的行列式进行计算.一般地，，其中为矩阵的多项式。5、拉普拉斯矩阵的行列式其中分别是两个方阵．二、矩阵1、矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，方阵行列式的计算注：对于阶矩阵，乘法不满足交换律2、特殊向量的乘法，若，的

3、一个非零特征值为；（因）特别的：的唯一一个非零特征值，又因为是对称矩阵，因此相似对角矩阵，且，故的特征值为和重）；单位矩阵的特征值为1（重），因此若为单位向量，则的特征值为0，1（重）；的特征值为2，1（重），3、转置、可逆、伴随矩阵的性质，，，4、矩阵的初等变换经过有限步初等变换得到的矩阵是等价的。熟悉行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的特点，主要用于解方程组、求极大无关组、求秩5、矩阵的秩存在阶子式不等于0，对于所有的（若存在）阶子式等于0；存在阶子式不等于0；对于所有的阶子式等于0；列秩的行秩6、矩阵秩的性质①②，（方程组同解）③为维非零列向量，④若，则⑤若为可逆矩阵，

4、则⑥⑦⑧⑨若，则⑩为阶方阵，为的伴随矩阵，则7、初等矩阵初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵；初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵；可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积；矩阵左乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的初等行变换，右乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的列变换；利用初等变换求逆矩阵；三、线性方程组1、齐次线性方程组解的判定：2、齐次线性方程组解的性质：是的解，则也是的解；会求基础解系；若，则基础解系解向量的个数为3、非齐次线性方程组的解的判定：4、非齐次线性方程组解的性质及结构若是的解，则当时，是的解，当时，是的解非齐次方程的通解是对应齐次方

5、程的通解加上非齐次方程的特解构成。5、矩阵方程的列向量就是的基础解系矩阵方程，即6、公共解问题求两个方程组的公共解，也就是要找到一个解既是方程组（1）的解，也是方程组（2）的解，因此对于这类题目就是联立两个方程组，组成一个新的方程组求通解四、向量1、线性表示向量可以由向量组线性表示有解向量组可以由向量组线性表示，即向量组中每个向量都可以由向量组线性表示向量组等价：向量组与向量组可以相互线性表示若，则的列向量可以由的列向量线性表示；的行向量可以由的行向量线性表示2、线性相（无）关对于向量组，若存在一组不全为0的数，使得成立，则线性相关，否则线性无关线性相关有非零解线性无

6、关只有零解若向量组线性无关，向量组线性相关，则向量可以由向量组线性表示，且表示唯一3、极大无关组极大无关组的定义，求法向量组的秩的定义4、向量空间向量空间、基、维数的定义基变换和坐标变换标准正交基（施密特正交化）正交矩阵的行（列）向量是单位正交的向量组五、特征值与特征向量1、定义：，是特征值，是特征值对应的特征向量2、求法：，解出个（含重根）特征值解得的基础解系注：若是重根，则，即特征向量的个数小于等于个；若，矩阵可以相似对角化，否则不能。3、相似的定义：，则相似于相似对角化充要条件存在个线性无关的特征向量。对任意对称矩阵存在正交矩阵，使得相似矩阵的特征值、行列式、秩

7、、对角线元素和均相等，反之不成立。两个对称矩阵如果特征值相等，则必相似。4、特征值的性质①不同特征值对应的特征向量线性无关；特殊地，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交②对于阶矩阵，，；特殊地，若矩阵可逆，则矩阵的所有特征值不为0③若是矩阵的特征值对应的特征向量，则若，则④若矩阵可逆，则⑤对称矩阵非零特征值的个数等于，的唯一的非零特征值为5、对称矩阵的相似对角化步骤①求出的特征值、特征向量：．②对于任意一个重特征值，其特征向量为．先正交化，得；再把所有特征向量单位化，得．③存在正交矩阵，使得，其中六、二次型1、二次型矩阵对称矩阵2、把二次型利用正交变