2010高三数学高考《三角函数》专题学案：三角函数的恒等变形.doc

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1、第6课时三角函数的恒等变形基础过关基础过关一、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴化繁为简；⑵左右归一；⑶变更问题．二、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条

2、件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．典型例题例1．求证：＝证明：左边＝＝＝右边变式训练1：求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α证明：∵(α＋)＋(α－)＝2α∴tan[(α＋)＋(α－)]＝tan2α∴用心爱心专心∴∴tan(α＋)＋t

3、an(α－)＝2tan2α例2．求证：证明：左边＝＝＝＝右边＝4()＝4·＝∴左边＝右边即等式成立变式训练2：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．证明：tan(A－B)＝＝＝例3．如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．ABDC（1）证明：sinα＋cos2β=0；（2）若，求β的值．解：（1）∵用心爱心专心∴即sinα＋cos2β＝0（2）在△ADC中，由正弦定理得．即∴由（1）sinα＝－cos2β∴即解得或因为，所以从而变式训练3.已知且sinβ·cosα＝cos(

4、α＋β)．（1）求证：；（2）用tanβ表示tanα．解：（1）∵∴∴∴（2）例4.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2sinB．证明：∵sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB∴sinA·＋sinC·＝sinB∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB∵sin(A＋C)＝sinB∴sinA＋sinC＝2sinB变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：

5、2cos2α＝cos2β．证明：(sinθ＋cosθ)2用心爱心专心＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α将sinθ·cosθ＝sin2β代入得1＋2sin2β＝4sin2α∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)∴2cos2α＝cos2β小结归纳1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证

6、式．3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．用心爱心专心