江苏专用高考数学复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数与方程课件.pptx

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1、第9讲　函数与方程考试要求函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断(B级要求).知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__________的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有______.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②____________；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在

2、零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)＜02.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点__________________________无交点零点个数两个一个零个(x1，0)，(x2，0)(x1，0)诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象

3、连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()(4)当x>0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.()解析(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在区间(－1，1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)>0.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________.∴f(x)在(－1，0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有

4、一个零点.答案13.(教材改编)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零点为1，3，则函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是________.解析∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a，∴对称轴为x＝2.答案x＝2解析转化为f(x)＝m(x＋1)方程有两个解，即转化为y＝f(x)与y＝m(x＋1)有两个交点，解析当x＞0时，令g(x)＝lnx，h(x)＝x2－2x.画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点.答案3考点一　函数的零点与方程的根由图象可知

5、f(x)＋g(x)

6、＝1的实根个数为4.答

7、案(1)③(2)4规律方法(1)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(2)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(3)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.①(0，1);②(1，2)；③(2，4);④(4，＋∞).(2)已知函数f(x)＝2x－3x，方程f(x)＝0的根的个数为________.(2)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平

8、面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以方程的根的个数为2.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝

9、ln(x＋1)

10、的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.答案(1)③(2)2(3)2考点二　二次函数的零点问题【例2】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1，2)上有两

11、个不同的零点，求实数a的取值范围.解(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.由f(x)≥1－x2，得2x2－3x＋1≥0，规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.(2)(2019·泰州中学质检)关于x的一元二次方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是________.解析(1)题目转化为求

12、方程f(x)＝x的根，(2)设f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，考点三　函数零点的应用【例3】(1)已知f(x)＝

13、x2＋3x

14、，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________.(2)已知函数f(x)＝

15、x2＋3x

16、，x∈R，若方程f(x)－a

17、x－1

18、＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是