微分几何复习提纲.pdf

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1、微分几何复习提纲1、(1)熟练掌握向量函数在一般向量运算下的运算规则，不同运算的混合运算，如数量积、向量积与线性运算的混合(P9－10)，数量积、向量积与求导运算的混合，线性运算与求导运算的混合，数量积、向量积、线性运算与求导运算的混合(P19的定理2.1)。(2)向量函数的特定性质(P19的定理2.2)(3)标架与坐标系的区别与联系，坐标变换与刚体运动的关系，刚体运动的几何特点。2、(1)掌握正则参数曲线的正则性的判定，参数曲线的光滑性与直角坐标系下光滑性的关系，正则参数曲线在局部意义下的表示与隐函数定理。(2)正则参数曲

2、线是弧长参数的充要条件，曲率、挠率的计算(弧长参数和非弧长参数两种情形)，Frenet标架的构成要素及其关系、有关术语。(3)Frenet标架的运动公式——Frenet公式的矩阵形式，曲线论基本定理的主要内容。(4)平面曲线的相对曲率与Frenet公式。3、(1)清楚正则参数曲面参数曲线网的概念，掌握正则性概念与判定，曲面的定向；容许参数变换下切向量的转换关系，保持定向的条件。(2)正则参数曲面的切向量的各种表示、切空间和自然标架；第一基本形式的概念与几何意义，第一类基本量在容许参数变换下的不变性含义；曲面上曲线弧长和曲面片

3、的面积在容许参数变换下的不变性。(3)曲面上正交参数曲线网的存在性。(4)曲面间的映射和诱导切映射表示，保长、保角对应的判定与关系。(5)特殊直纹面(柱面、锥面)的参数方程，可展曲面的几何直观与判定。4、(1)第二基本形式的概念与几何意义，第二类基本量在容许参数变换下的不变性含义；(2)曲面法曲率的定义和常见曲面法曲率的计算，渐近曲线的定义、渐近曲线网的充要条件。(3)Weingarten映射与主曲率的关系，主曲率、主方向的计算，曲率线概念、曲率线网正交的充要条件，平均曲率、Gauss曲率和主曲率的关系。(4)Gauss曲率

4、与曲面上点的分类，近似曲面的计算。(5)极小曲面的概念。5、(1)自然标架的运动公式(Gauss公式和Weingarten公式)和张量记号的和式规则，Christoffel记号的指标升降规则。(2)两个基本形式的相容性条件——Gauss‐Codazzi方程与曲面光滑性的关系；曲面论基本定理的主要内容；Gauss定理和内蕴几何的基本含义。6、(1)曲面上曲线的正交标架场的构成，运动公式与测地曲率、测地挠率的基本计算公式；测地曲率的几何解释。(2)曲面上测地线的概念和存在性。