Gauss、Green公式的若干推广.pdf

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1、第31卷第5期佳木斯大学学报(自然科学版)Vol．31No．52013年09月JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)Sep．2013文章编号:1008－1402(2013)05－0790－03Gauss－Green公式的若干推广①孙博(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)摘要:应用Gauss－Green公式推证出偏微分方程中经常涉及到的推论，对计算偏微分方程起到至关重要的作用．Gauss－Green公式在学习Sobolev空间和椭圆与抛物方程等课程起到一定的帮助与启发，对数学思想具有深远的意义与影响．关键词:偏微分方程;Ga

2、uss－Green公式;外法向量中图分类号:O175．2文献标识码:A1预备知识1．2Gauss公式3定理2若VＲ是空间上的一个有界闭区1．1Green公式域，其边界V由有限张分块光滑的双侧曲面组成，2定理1若DＲ是平面上由有限条可求长并取外法向，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，在V上连闭曲线围成的闭区域，函数P(x，y)和Q(x，y)在D续，且有连续的一阶偏导数，则上连续，且有连续的一阶偏导数，则PQＲ(++)dxdydz=VPdydz+QdzdxQPdxdy=Pdx+Qdy，其中D取正VxyzD(－)∫Dxy+Ｒdxdy=(Pcosα+Qco

3、sβ+Qcosγ)dS［1］V向．推论1若DＲ2是平面上由有限条可求长其中(cosα，cosβ，cosγ)为边界V的外法线方向的闭曲线围成的闭区域，函数P(x，y)和Q(x，y)在D方向余弦．上连续，且有连续的一阶偏导数，则记F珗=(P，Q，Ｒ)，由于珗n=(cosα，cosβ，PQD(+)dxdy=∫D[Pcos(珒n，x)+Qcos(珒n，y)]dScosγ)，则上述Green公式变为divF珗dxdydz=xyV其中珗n为单位外法向量．F珗·珗ndS．实际上，我们可以证明更一般的GaussV证明设珒t为边界D的单位切向量．由于珗n取外法线方向，因而－Gree

4、n公式．ncos(珗n，x)=cos(珒t，y)，cos(珗n，y)=－cos(珒t，y)定理3设Ω是Ｒ中的一个有界开集，且Ω由Green公式得1n∈C．如果F珗=(F1，F2，…，Fn):珚Ω→Ｒ属于PQ(+)dxdy=－Qdx+PdyC1(Ω)∩C(珚Ω)，则divF珗dx=F珗·珗ndS(x)，其中D∫D∫xyΩ∫Ω珗n为Ω的单位外法向量．=∫[－Qcos(珒t，x)+Pcos(珒t，y)]dSD2主要结果=∫D?Pcos(珗n，x)+Qcos(珗n，y)」dS1因而完成定理的证明．推论1如果u，v∈C(Ω)∩C(珚Ω)，则记珗F=(P，Q)，由于珗n=(cos(

5、珗n，x)，cos(珗n，y))，∫uxivdx=－uvxidx+uvnidS(x)，其中ni是ΩΩ∫Ω∫Ω珗F则Green公式的推论变为Ddiv珗Fdxdy=∫·珗ndS的单位外法向量珗n的第i个分量，Ω是Ｒn中的一个D①收稿日期:2013－08－13作者简介:孙博(1988－)，男，吉林辽源人，吉林师范大学数学学院硕士研究生．第5期孙博:Gauss－Green公式的若干推广791有界开集，下同．下面给出证明:所以在Gauss－Green公式中取F珗=vv得:1因为u，v∈C(Ω)∩C(珚Ω)，所以在Gauss－∫Ωdiv(uv)dx=∫Ωuv·珗ndS(x)①Green公

6、式中取F珗=(0，…，uv，…，0)，其中uv是F珗vvv的第i个分量，得:又因为uv=(u，u，…，u)，所以x1x2xn∫Ω(uv)xidx=∫ΩuvnidS(x)div(uv)=(uv)+(uv)+…x1x1x2x2等式左边展开得:2vuvvuv+u=·+u+·uvdx+uvdx=uvndS(x)()2∫Ωxi∫Ωxi∫Ωixnxnx1x1x1x2x222移项得:+uv+…+u·v+uv=Du·Dv+uΔv22x2xnxnxn∫Ωuxivdx=－∫Ωuvxidx+∫ΩuvnidS(x)所以证毕．∫div(

7、uv)dx=Du·Dvdx+uΔvdx②Ω∫Ω∫Ω21推论2如果u∈C(Ω)∩C(珚Ω)，则∫ΩΔudx所以由①②得:uDu·Dvdx=－uΔvds+uvdS(x)=∫ΩdS(x)，其中珗n是Ω的单位外法向量．∫Ω∫Ω∫Ω珗n珗n下面给出证明:推论421因为u∈C2(Ω)∩C1(珚Ω)，所以在Gauss－如果u，v∈C(Ω)∩C(珚Ω)，则Green公式中取F珗=u得:∫(uΔv－vΔu)d