高数(经济数学-微积分).ppt

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1、一、平面及其方程二、直线及其方程三、小结思考题第四节平面与直线一、平面(plane)及其方程(equation)如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有(normalvector)1、平面的点法式方程平面的点法式方程平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知点解取所求平面方程为化简得取法向量化简得所求平面方程为解由平面的点法式方程平面的一般方程法

2、向量2、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程(interceptform)设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为//三、两平面的相互关系相交程度的反映指标两平面的夹角定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.两平面的夹角按照两向量夹角余弦

3、公式有两平面夹角余弦公式例6研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.4、点到平面的距离(distance)分析点到平面距离公式二、直线(straightline)及其方程方向向量(directionvector)的定义如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//1、直线的参数方程与对称式方程直线的参数方程直线的对称式方程(symmetricequation)方向向量的余弦称为直线的方向余弦.令直线的一组方向数(pa

4、rametricequation)解所以交点为取所求直线方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程2、直线的一般式方程例8用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程3、空间两直线的关系⑴其中⑴与共面与为异面直线⑵为为其中上的点，上的点。两直线的特殊位置关系判定：//直线直线例如，解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式夹角（3）两直线的解先作一过点M

5、且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为4、直线与平面的关系（3）与相交于一点（1）与平行或含于定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．(4)直线与平面的夹角（1）投影直线可求吗？考虑法向量与直线的夹角易求吗？与所研究向量的关系是什么？（2）直线投影直线^两直线的夹角公式借助投影直线求直线与平面的夹角^^借助法向量求直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式解为所求夹角．设直线由方程5、过直线的平面束平面的方程（熟记平面

6、的几种特殊位置的方程）两平面的关系点到平面的距离公式点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）三、小结空间两直线的关系直线与平面的关系过直线的平面束直线的方程参数方程一般式方程对称式方程思考题思考题1解答思考题思考题2解答且有故当时结论成立．练习题直线在平面上的投影直线的方程.九、练习题答案