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1、一道立体几何高考题解法探究2011年高考全国大纲卷（理科）立体几何解答题，是一道难得的好题•我对此题解法进行了深入广泛的研究，与大家交流于后.题目（20X年高考全国大纲卷（理科）第19题）：如图1,四棱锥中S-ABCD,ABIICD,BC±CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.（I）证明：SD丄平面SAB;（II）求AB与平面SBC所成角的大小.为了行文方便,对两个小题的解答，分成两部分分别给出•第（I）问共列6种解法，依次用证法1.1到证法1.6进行编号；第（II）问共列六类"种解法，六类
2、依次用a至f六个字母编号，11种解法依次用解法2/到解法2."进行编号•全文设AB与平面SBC所成的角为0.1•第（I）小题的六种证法证法1.1:如图2,在RMBCD中，BC=2,CD=1,所以DB=,又因为SD=1,SB=2,所以BD=SD+SB,故SD丄SB.取E为AB的中点，联结DE,因为AB=2,所以BE=1,又CD=1，所以CD=BE.由ABIICD知CDIIBE,故四边形BCDE为平行四边形•又BC±CD,所以四边形BCDE为矩形，故有DE丄AB,DE=2在RMADE中，求得AD二。显然aSAD也是直角
3、三角形,故SD丄SA.这样便有SD±SB,SD±SA且SAnSB=S,所以SD丄平面SAB.证法1.2:如图2，在^CBD和ASBD中,SB=CB,SD=CD,BD=BD,WaSBD?^aqbd，因为CB丄CD，所以SD±SB.取E为AB的中点，证法行证得DE±AB,故AD二BD,又SD=SD,SA=SB,所以aSBD?芜^SAD,所以SD±SA,所以SD丄平面SAB.证法1.3:如图2,证法1.1证得四边形BCDE为矩形，因而DE丄AB,DE=2.在等边三角形^SAB中，SE丄AB,SE=.由SD=1,SE=,D
4、E=2得DE=SE+SD,所以SD丄SE•又由AB丄DE,AB丄SE和DEnSE=E,可知AB丄平面SDE,所以AB丄SD•于是既有SD±SE又有SD±AB所以SD丄平面SAB.证法1.4:如图2,证法1.3证明AB丄平面SDE,于是平面SAB丄平面SDE,交线为SE.同证法1.3证得SD±SE,由两平面垂直的性质定理可知SD丄平面SAB.证法1.5:如图3,取、、为一组基底,由条件
5、
6、=
7、
8、=
9、
10、=2,丄，v,>=60°，可知•=0,•=2x2xcos60°=2.S为二+二・+,由
11、
12、=*1得,
13、
14、+
15、
16、+
17、
18、-
19、2•+•=1，从中解得•二3•所以•=(-+)•=3-4+仁0；•=(・+)•=0-2+x4=0,S此SD丄BS,SD丄BA,故SD丄平面SAB.证法1.6:如图4,以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.由题目条件可知A(0,2,0),B(0,0)0),C(2,0,0),D(2,1,0),设点S的坐标为(x,y,z),则有二(x,y-2,z),=(x,y,z),=(x-2,y-1,z),由
20、
21、=2,
22、
23、=2,
24、
25、=1用空间两点之间的距离公式得方程组x+(y-2)+z=4x+y+z=4(x-2)+(
26、y-1)+z=1,解得x=,y=1,z=,即得S的坐标为(，4,).于是,=(0,2,0),=(,1,),=(・，0J所以•=0+0+0=0且•=-+0+=0所以SD±AB,SD±SB,又ABnSB=B,所以SD丄平面SAB.2•第（II）小题的"种解法a・在斜线AB上选一点，求它到平面SBC的距离，再求斜线和平面所成角的正弦，进而求得线面角.解法2.1:如图5,设点A到平面SBC的距离为h,下面用三棱锥体积变换法求h.易求S=,由于SD丄平面SAB,SD=1，因此V二SxSD二显然S二S，故V=V.S此V二V=V
27、二V二.由SD±AB,ABIICD得，SD±CD,所以SC二•容易求得等腰△SBC的面积S二•所以V二Sxh二.由二解得h=,故sin9==,所以0=arcsin.解法22:如图6，同证法1.3可证明AB丄平面SDE,所以平面ABCD丄平面SDE,交线为DE•作SF丄DE于F,则SF丄平面ABCD,故SF是点S到平面ABCD的距离•在RfSDE有SF=.所以V=SxSF=.T同解法2.1用体积法可求出点A到平面SBC的距离h（略）.解法2.3:如图7,同解法2.2先求出点S到平面ABCD>Z<1的距离SF=,再求点
28、E到平面SBC的距离，进而求得8由于EDIIBC可得DEII平面SBC,故E到平面SBC的距离等于点F到平面SBC的距离•由SF丄平面ABCD,得SF丄BC.作FG丄BC于G,联结SG,则BC丄平面SFG,平面SBC±平面SFG，交线为SG，作FH±SG于H,则FH丄平面SBC,所以FH为点F到平面SDE的距离•在RfSFG中可求得FH==,贝I」sin0=
