三次的费马方程-各种证明.doc

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1、(五)三次的费马方程　　在第一部分里已经提到，首先发表n=3情形FLT的证明应归功于欧拉，它出现在1770年出版的欧拉的《代数》一书中．欧拉证明中的重要步骤使用了a2+3b2型整数的可除性，但没有给出充分的理由．勒让德在他的书中(1830)重复了欧拉的证明，没有给出进一步的解释．因为在这个问题上他也是一位专家，当然通晓欧拉的推论．数学家对此发表了一系列文章．1966年波格曼发表了欧拉证明的彻底分析，出于历史的考虑，使这个争论更加明朗化．的确，1760年欧拉已经严格证明：如果s是奇数，且s3=a2+3b2，其中(a，b)=1．那么s=u2+3v2，

2、这里u，v是整数．　　这个情形的另外一个证明是高斯给出的．两个证明都用无穷递降法，　　们还将看到，欧拉的证明只不过是高斯证明的一个特例，而后者的证明比前者要简单的多．　　这里，首先给出一个初等证明，然后给出欧拉和高斯的证明．1．初等证明　　引理1方程　　　x1x2…xn=w3　　　　　　　　　(1)其中x1，x2…，xn两两互素，全部整数解可由下列公式给出：　　x1=α3，x2=β3，…，xn=τ3，　　　w=αβ…τ　　　　　　　　　(2)其中α，β，…，τ两两互素．　　证明由(2)确定的x1，x2，…，xn，w显然适合方程(1)．现证明方程(

3、1)的每一个解都可表示为(2)形．设x1，x2，…，xn，w为方程(1)的一个解．令　　x1=α3x1′，x2=β3x2′，…，xn=τ3xn′(3)其中x1′，x2′，…，xn′为不含有立方因数的正数．因为x1，x2，…，xn两两互素．所以α，β，…，τ及x1′，x2′…，xn′，都两两互素．从(1)知α3β3…τ3｜w3，得αβ…τ｜w．设w=αβ…τw1，代入(1)，得x1′x2′…xn′=w13．　　如果w1有素因数p，那么p3｜x1′x2′…xn′．因为x1′，x2′，…，xn′两两互素，所以p3整除某个xi′，这与xi′没有立方因数矛

4、盾，因此只有w1=1．于是x1′x2′…xn′=1．因为xi′都是正整数，故x1′=x2′=…=xn′=1．因此(3)为　　x1＝α3，x2=β2，…，xn=τ3其中α，β，…，τ两两互素，而w=αβ…τ．　　引理2方程x2+3y2=z3，(x，y)=1　　　　　　　　　　　(4)的一切整数解可以表示为其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．　　证明略．　　推论1方程x2-xy+y2=z3，(x，y)=1　　　　　　　　　　　(6)的一切整数解包含在下列两组公式中：其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶；其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一

5、偶．　　推论2方程x2-xy+y2=3z3，(x，y)=1　　　　　　　　　　　(9)的一切整数解均可由下面两组公式表出：其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．　　现在我们证明　　定理方程　　x3+y3+z3=0，(x，y)=1　　　　　　　　　　(12)没有非零的整数解．　　证明首先，我们证明方程(12)没有3xyz解．若方程(12)有解x，y，z，则　　(z+y)(x2-xy+y2)=(-z)3　　　　　　　　　　(13)　　如果(x+y)与(x2-xy+y2)有素公因数p，即p

6、(x+y)，p

7、

8、(x2-xy+y2)，那么由3xy=(x+y)2-(x2-xy+y2)推得p

9、3xy．由于3z，故p≠3，所以p

10、xy；不防设p

11、x，又因p

12、(x+y)，则有p

13、y，与(x，y)=1矛盾．因此，(x+y)与(x2-xy+y2)互素．由(13)并根据引理1，有其中(α，β)=1．在(14)的第二式中，因(x，y)=1，3x，3y，根据引理2的推论1必有其中(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶．把(15)中的x，y代入(14)第一式，得　　　　2u(u+3v)(u-3v)=α3　　　　　　　　　　(16)因为(u，v)=1，3u，u、v一奇一偶，所以

14、2u，u+3v，u-3v两两互素，再根据引理1必有　　α=α1β1γ1其中α1，β1，γ1两两互素．由(17)的前三式消去u，v，得因为-z=αβ=α1β1γ1β，所以3α1β1γ1，且

15、z

16、＞

17、γ1

18、＞0．用同样方法又可得其中α2，β2，γ2满足3α2β2γ2，

19、γ1

20、＞

21、γ2

22、＞0．继续进行下去，可得一无穷递减正整数序列

23、z

24、＞

25、γ1

26、＞

27、γ2

28、＞…＞0这是不可能的．因此(12)没有3xyz解．　　其次，证明方程(12)没有3

29、zyz解．　　设z=3nz1，3z1．代入(12)，得因为x，y，z两两互素．故3x，3y．我们只需证明，对于任意n

30、，方程(20)无解即可．　　对n施行归纳法：　　当n=0时，上面已经证明(20)没有解．假设n-1时方程(20)没有解．若对n，(20)