函数单调性的判断、证明和单调区间的求法.doc

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1、第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。（2）复合函数分析法设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”

2、函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）。（4）图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法（2）复合函数法先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。（3）导数法在其对称区

3、间上的单调性相减，如函数。（2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数。（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。【方法讲评】例1证明函数在区间是增函数。解：设，函数在区间是增函数。例2求函数的单调区间．[来源:

4、学科网]解：∵函数的定义域为{x

5、x∈R，且x≠0}，设x1、x2≠0，且x1a2，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．例3已知函数

6、的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式解：【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。例4已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）

7、知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.例5设函数，，求函数的单调区间与极值。+0-0+单调递增单调递减单调递增【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。【变式演练4】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一

8、点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成x的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．例6（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，设，在上分别是单调递减和单调递增的，在上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，

9、分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：，，令，得或，令，或∴单调增区间为；单调减区间为。(1)求ω；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到