全国高考数学二轮复习考前冲刺三第五类解析几何问题重在“设”——设点、设线学案文.doc

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1、第五类　解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高、综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.【例5】(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程

2、.解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.(设点)于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).设直线AB的方程为y＝x＋m，(设线)故线段AB的中点为N(2，2＋m)，

3、MN

4、＝

5、m＋1

6、.将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.从而

7、AB

8、＝

9、x1－x2

10、＝4.由题设知

11、AB

12、＝2

13、MN

14、，即4＝2(m＋1)，2解得m＝7.所以直线AB的方程为x－y＋

15、7＝0.探究提高　1.(1)设点：设出A，B两点坐标，并得出x1≠x2，x1＋x2＝4.(2)设线：由(1)知直线斜率，再设直线方程为y＝x＋m，利用条件可求出m的值.2.破解策略：解析几何的试题常要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等，常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y＝kx＋b、x＝my＋n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【训练5】已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的

16、坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.(1)解　设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，由解得Q.(2)证明　设过点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，特别地，当t＝0时，k＝±1，切点为A(1，2)，B(1，－2)，显然AB过定点F(1，0).一般地，方程k2＋kt－1＝0有两个根，∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，∴两切点分别为A，B，∴＝，＝，又－＝2＝0，∴与共线

17、，又与有共同的起点F，∴A，B，F三点共线，∴AB过点F(1，0)，综上，直线AB过定点F(1，0).2