高考数学一轮复习课后限时集训53椭圆及其性质理北师大版.docx

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1、课后限时集训53椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4bB　[由题意，＝，得＝，则＝，∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b2.故选B.]2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)A．B．(1，＋∞)C．(1,2)D．C　[由题意得解得1＜k＜2.故选C.]3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为(　　)A．＋＝1B．＋＝

2、1C．＋＝1D．＋＝1D　[由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，所以2a＝

3、PF1

4、＋

5、PF2

6、＝＋＝4.所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.]4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　　)A．－B．－1C．D．B　[设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设＝2c，则＝c，＝c.由椭圆定义，得2a＝

7、

8、DF1

9、＋

10、DF2

11、＝c＋c，所以e＝＝＝－1，故选B.]5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)A．2B．6C．4D．12C　[由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得

12、BA

13、＋

14、BF

15、＝

16、CA

17、＋

18、CF

19、＝2a，所以△ABC的周长为

20、BA

21、＋

22、BC

23、＋

24、CA

25、＝

26、BA

27、＋

28、BF

29、＋

30、CF

31、＋

32、CA

33、＝(

34、BA

35、＋

36、BF

37、)＋(

38、CF

39、＋

40、CA

41、)＝2a＋2a＝4a＝4.]二、填空题6．已知椭圆＋＝1(a

42、>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．(－5,0)　[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]7．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．(3，)　[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2

43、为等腰三角形，所以易知

44、F1M

45、＝2c＝8，所以

46、F2M

47、＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得又因为点M在第一象限，所以M的坐标为(3，)．]8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．　[满足1·2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e＜1，所以0＜e＜.]三、解答题9．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一

48、点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．[解]　由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且

49、MF2

50、＝

51、MP

52、，从而

53、MF1

54、＋

55、MF2

56、＝

57、MF1

58、＋

59、MP

60、＝

61、PF1

62、＝4>

63、F1F2

64、，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为＋＝1.10．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点

65、．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[解]　(1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，

66、PF2

67、＝c，

68、PF1

69、＝c，于是2a＝

70、PF1

71、＋

72、PF2

73、＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当

74、y

75、·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c

76、y

77、＝16，①x2＋y2＝c2，②＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2

78、＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．1．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则

79、AN