数学建模-莱斯利模型.ppt

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1、<一>莱斯利模型年龄组年龄区间1[0,N/n]2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)……n-1((n-2)N/n,(n-1)N/n)N((n-1)N/n,N)假定在总体中任意一个女性的最大年龄是N岁，这里的总体仅指女性人口总体，并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。将总体分成n个期限相等的年龄组，于是每组的期限为N/n年，按下表来记下各个年龄组：假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数，令在第i组中有个女性，则记为这个向量称为初始年龄分布向量。现在来考虑这n个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意两个连续的观察时间间隔和年龄区间的

2、期限相等，即令这样，在时刻时于第（i+1）组中的所有女性在时刻是均在第i组中。在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程，用下述人口学参数来描述：表示每一个女性在第i年龄组期间生育儿女的平均数。表示第i年龄组的女性可望活到第（i+1）年龄组的分数。显然不允许任何bi等于0，否则就没有一个没有女性会活到超过第i年龄组。同样，至少有一个是正的，这样就保证有n个女儿出生了。与正的对应的年龄组称为生育年龄组。记是在时刻个年龄组中的女性数目，则称为在时刻时年龄分布向量。在时刻，第一个年龄组中的女性数恰好就是在和之间出生的女孩数，即（5.1）（5.2）将（5.1）式

3、和（5.2）用矩阵表示即得（5.3）简记为（5.4）其中称为莱斯利矩阵。由（5.4）式可得（5.5）因此，如果已知初始年林分布及莱斯利矩阵L，就能求出在以后任何时间的女性年龄分布。<二>极限状态（5.5）式给出了总日在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接反映增长过程动态的情况。为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多项式的根，这个特征多项式为为了求这个多项式的根，引入函数（5.6）利用这个个函数，特征多项式可写为（5.7）由于所有的和为非负的，可以看作对于大于零是单调减少的。另外，在处有一条垂直渐近线，而当趋于无穷大时则趋

4、于零。因此，存在唯一的一个，使得。即矩阵L有一个唯一的正特征值，是单根，对于的一个特征向量是满足：的非零向量。解得（5.8）由于是单根，它相应的特征空间是一维的，因而任意它所对应的特征向量是某个倍数，则有定理定理1一个莱斯利矩阵L有一个唯一的正特征值，并且有一个所有元素均为正的特征向量。总体年龄分布的长期行为是由正的特征值及它的特征向量来决定的。实际应用中，由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量，请读者参阅第四章相关内容。定理2如果为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值，是L的特征值，它可以是任意实数或复数，则。称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有

5、，那么称为L的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如请读者利用数学软件验证L的唯一正特征值不是严格主特征值，并且有（单位矩阵）。于是对于任意选择初始年龄分布，都有因此年龄分布向量以三个时间单位为周期而摆动，如果是严格主特征值，这种摆动（也称人口波）就可能不会发生。下面价格叙述关于是严格主特征值的必要和充分条件。定理3如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素和不等于零，则L的正特征值就是严格主特征值。因此，如果女性总体有两个相继的生育年龄组，它的莱斯利矩阵就是一个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小，现实中的总体总是这中情况。假设L是可对

6、角化的，此时L有n个特征值与它们相对应的n个线性无关的特征向量为。将其中严格主特征值排在第一，建立一个矩阵P，其余个列就是L的特征向量。于是L的对角化就由下式给出则因此，对于任意初始年龄分布向量就有此等式两边除以，就得出（5.9）由于是严格主特征值，所以当时这样就得到（5.10）如果将列向量的第一个元素用常熟C来表示，则可以证明（5.10）式右端为，C是一个只与初始年龄分布向量有关的正常数，于是得到（5.11）对于足够大的k值，由（5.11）式给出近似式（5.12）由（5.12）式还可得出（5.13）比较（5.12）和（5.13）式可知对于足够大的k值

7、，有（5.14）这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一个年龄分布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值。因此，在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。由给出常时期人口的年龄分布向量（5.12）式根据正特征值的数值，会有三种情况：１）如果　　，总体最终是增长的；２）如果，总体整体是减少的；３）如果，总体整体是不变的。的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长的总体。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数由（5.6）和（5.7）式可看出，当且仅当（5.15）时才有。表达式（5.16）称为总体的净繁殖率。因此，总体的净繁殖率

8、为1时，一个总体有零总体增长。